頭の整理

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積分を用いた円錐の体積公式の導出

積分 空間図形

積分を用いて円錐の体積 { \displaystyle V } を求める以下の公式を導出します．

{ \displaystyle V=\frac{1} {3}\pi r^2h }

 ここで，{ \displaystyle r } は底面の半径，{ \displaystyle h } は円錐の高さとします．

 

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証明：まず，x-y平面上に原点を通る直線を考えます．この直線とx軸とのなす角をθとすると，この直線は { \displaystyle y=(\tan \theta)x } と表せます．この直線の式とx軸および2直線 { \displaystyle x=0 } および { \displaystyle x=h } で囲まれた図形を，x軸の周りに1回転してできる立体は，底面の半径が { \displaystyle h \cdot \tan \theta } で，高さが { \displaystyle h } の円錐となります．この円錐の体積 { \displaystyle V }は，

{ \displaystyle V=\int_0^h \pi y^2 dx }

    { \displaystyle = \pi \int_0^h \{(\tan \theta)x\}^2 dx }

    { \displaystyle = \pi \left[ \frac{1} {3} \left(\tan^2 \theta \right) x^3 \right]^{h}_{0} }

    { \displaystyle = \frac{1} {3} \pi \left(\tan^2 \theta \right) h^3 }

    { \displaystyle = \frac{1} {3} \cdot \pi \cdot \left(h \cdot \tan \theta \right)^2 \cdot h }

となります．ここで，{ \displaystyle h \cdot \tan \theta =r } とおくと，

{ \displaystyle V=\frac{1} {3}\pi r^2h }

となり，公式が導出できました．

 

 

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