ラッセルのパラドックス

「ラッセルのパラドックス」はイギリスの数学者・哲学者であるラッセル（Bertrand Russell, 1872-1970）が集合論の研究において発見したパラドックスです．その内容は，

「己自身を元として持たない集合の全体を $T$ とする． $T$ は $T$ に含まれるとしても，含まれないとしても，矛盾が生じる」

というものです． $T$ を論理式で表すと，

$T = \{ t|t \notin t \} \ \ \ (1)$

になります．ここで，パラドックスの前半部分を検討します．「 $T$ は $T$ に含まれる」を論理式で表すと，

$T \in T$

になります．これは(1)式を満たさないため，

$T \notin T$

となります．よって，

$[T \in T] \land [T \notin T]$

となり，矛盾が生じます．

パラドックスの後半部分は $T \notin T$ から始めれば，同様に示すことができます．

ラッセルのパラドックスの言い換えは様々なものが知られていますが，ここでは僕自身が考えたものを書いておきます．

「自分の顔を見れない世界があるとする．そのような世界に住むすべての人の顔を見たことがある人がいるとする．その人自身は，自分の顔を見たことがあるか？」

ここでは，集合の元は「人」であり，ある集合がある元を持つことは「ある人がある人の顔を見たことがある」ということで表しています．そして，自分の顔を見れない世界の住人は，己自身を元として持たない集合になります．つまり，「その人自身は，自分の顔を見たことがあるか？」という問いは，「その人はこの世界の住人と言っていいのか？」，ということになります．

ラッセルのパラドックスを解消しようという動きは，彼自身によるタイプ理論の考案につながっていきます．

―ラッセルのパラドックスは広く知られていて，岩波新書からも解説本が出ているようです．興味を持たれた方は，一冊手元に置いておくとよいかもしれません．