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仕事が運動エネルギーの変化に等しいことを示す積分

力学

仕事が運動エネルギーの変化に等しいことを示すときに，力 { \displaystyle F } を距離で積分することがあります．

例えば，下の図のように高さ { \displaystyle h_1 } にある質量 { \displaystyle m } の小球を自由落下させ，小球が高さ { \displaystyle h_2 } に到達するまでの過程を考えます．なお， { \displaystyle v_1,v_2 } はそれぞれ高さ { \displaystyle h_1,h_2 }における小球の速度とします．

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まず，小球になされた仕事について考えます．仕事は（力）×（距離）なので，小球になされた仕事は次に示す積分で表すことができます．

{ \displaystyle \int^{h_2}_{h_1} F dx }

次に，運動エネルギーの変化ですが，これは先ほど示した積分を次のように書き換えることで表せます．なお，ニュートンの運動方程式，

{ \displaystyle F=m\frac{dv} {dt} }

は成り立つと仮定します．

{ \displaystyle \int^{h_2}_{h_1} F dx = \int^{h_2}_{h_1} m \frac{dv} {dt} dx }

                 { \displaystyle =\int^{h_2}_{h_1} m \frac{dx} {dt} dv }

                 { \displaystyle =\int^{v_2}_{v_1} mv dv }

                 { \displaystyle =\frac{1} {2} mv_2^2- \frac{1} {2} mv_1^2 }

このように，仕事と運動エネルギーの変化が等しいことは，積分計算により示すことができます．

 

 

考える力学

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