頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

不定形

極限

関数の極限値を求めるときに，極限値の値がそのままでは定まらない場合があり，これを「不定形」と言います．不定形には，次の3パターンがあります．

{ \displaystyle (1)\ \lim_{x \to a} f(x)= \frac{0}{0} }

{ \displaystyle (2)\ \lim_{x \to a} f(x)= \frac{\infty}{\infty} }

{ \displaystyle (3)\ \lim_{x \to a} f(x)= \infty - \infty }

{ \displaystyle \frac{\infty}{0} } ， { \displaystyle \frac{0}{\infty} } ， { \displaystyle 0 - 0 } は不定形ではないです．注意しましょう．

 

{ \displaystyle (1) } の例

{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} }

分母，分子ともに変数 { \displaystyle x } を { \displaystyle 0 } にどんどん近づけたときの極限値は { \displaystyle 0 } となるため，このままでは極限値は定まりません．なお，ここでは説明しませんが，上の例の極限値は { \displaystyle 1 } になることが知られています．

 

{ \displaystyle (2) } の例

{ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln x} }

分母，分子ともに { \displaystyle x } をどんどん大きくしていくと，値がどんどん大きくなっていくため，不定形となります．ただし，詳細は述べませんが，上の例は分子の方が大きくなるスピードが速いため，極限値は { \displaystyle \infty } になります．

 

{ \displaystyle (3) } の例

{ \displaystyle \lim_{x \to \infty} x^2 - x^3 }

{ \displaystyle x^2 } も { \displaystyle x^3 } も両方 { \displaystyle x } が大きくなるにつれて，どんどん大きくなるため，不定形となります．上の例の場合は，第二項の方が大きくなるスピードが速いため，極限値は { \displaystyle - \infty } になります．

 

 

 

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