頭の整理

頭の中を整えるために,色々と書き綴ります

運命の歯車

自作問題です.解答は下部に載せました.

問題

2つの円 { \displaystyle O_1 }{ \displaystyle O_2 } が接している.{ \displaystyle O_1 } の半径を { \displaystyle r_1 \gt 0 }{ \displaystyle O_2 } の半径を { \displaystyle r_2 \gt 0 } とする.点 { \displaystyle P_1 } と点 { \displaystyle P_2 } は2つの円の接点を同時に出発し,{ \displaystyle P_1 } は { \displaystyle O_1 } 上を時計回りに,{ \displaystyle P_2 } は { \displaystyle O_2 } 上を反時計回りに動き続ける.{ \displaystyle P_1 } と { \displaystyle P_2 } が動く速さは等しく,その速さを { \displaystyle v \gt 0 } とする.このとき,次の問いに答えよ.

1.{ \displaystyle r_1 }{ \displaystyle r_2 } をいずれも有理数とする.{ \displaystyle P_1 } と { \displaystyle P_2 } が2つの円の接点を出発してから,はじめてもう一度円の接点に同時に戻ってくる時刻 { \displaystyle T } を求めよ.

2.{ \displaystyle r_1 }有理数{ \displaystyle r_2 }無理数とする.{ \displaystyle P_1 } と { \displaystyle P_2 } は2つの円の接点を出発してから,二度と円の接点に同時に戻ってくることはないことを証明せよ.

 

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解答

1.{ \displaystyle P_1 }{ \displaystyle P_2 } が2つの円の接点に同時に戻ってくる時刻を { \displaystyle t } とすると,次式が成り立つ.

{ \displaystyle t= \frac{ \left( 2 \pi r_1 \right) \cdot i }{v} = \frac{ \left( 2 \pi r_2 \right) \cdot j }{v} \ \ldots(1) }

ここで, { \displaystyle i } および { \displaystyle j } は正の整数である.{ \displaystyle (1) } より,次式が成り立つ.

{ \displaystyle \frac{r_1}{r_2} = \frac{j}{i} \ \ldots(2) }

ここで,{ \displaystyle r_1 } と { \displaystyle r_2 } はいずれも正の有理数であるから,{ \displaystyle (2) } は互いに素な正の整数 { \displaystyle n } と { \displaystyle m } を用いて

{ \displaystyle \frac{r_1}{r_2} = \frac{j}{i} = \frac{m}{n} }

と表すことができる.{ \displaystyle n } と { \displaystyle m } は { \displaystyle (1) } および { \displaystyle (2) } を満たす正の整数の組 { \displaystyle \left( i,j \right) } の中で { \displaystyle i } および { \displaystyle j } が最も小さくなる組である.ゆえに,{ \displaystyle i=n }{ \displaystyle j=m } のとき,{ \displaystyle t } は最小値をとる.よって,

{ \displaystyle T= \frac{ \left( 2 \pi r_1 \right) \cdot n }{v} = \frac{ \left( 2 \pi r_2 \right) \cdot m }{v} }

 

2.{ \displaystyle r_1 }有理数{ \displaystyle r_2 }無理数であるから,{ \displaystyle (2) } の左辺は無理数となり,このとき { \displaystyle (1) } および { \displaystyle (2) } を満たす正の整数の組  { \displaystyle \left( i,j \right) } は存在しない.よって,{ \displaystyle P_1 } と { \displaystyle P_2 } は2つの円の接点を出発してから,二度と円の接点に同時に戻ってくることはない.

 

注:問題文に回る方向の条件をつけたのは歯車をイメージしてもらうとわかりやすいかなと思ったからです.回る方向の指定がなくても,解答は同じになります.

 

 

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