運命の歯車
自作問題です.解答は下部に載せました.
問題
2つの円 , が接している. の半径を , の半径を とする.点 と点 は2つの円の接点を同時に出発し, は 上を時計回りに, は 上を反時計回りに動き続ける. と が動く速さは等しく,その速さを とする.このとき,次の問いに答えよ.
1. と をいずれも有理数とする. と が2つの円の接点を出発してから,はじめてもう一度円の接点に同時に戻ってくる時刻 を求めよ.
2. を有理数, を無理数とする. と は2つの円の接点を出発してから,二度と円の接点に同時に戻ってくることはないことを証明せよ.
解答
1. と が2つの円の接点に同時に戻ってくる時刻を とすると,次式が成り立つ.
ここで, および は正の整数である. より,次式が成り立つ.
ここで, と はいずれも正の有理数であるから, は互いに素な正の整数 と を用いて
と表すことができる. と は および を満たす正の整数の組 の中で および が最も小さくなる組である.ゆえに, , のとき, は最小値をとる.よって,
2. は有理数, は無理数であるから, の左辺は無理数となり,このとき および を満たす正の整数の組 は存在しない.よって, と は2つの円の接点を出発してから,二度と円の接点に同時に戻ってくることはない.
注:問題文に回る方向の条件をつけたのは歯車をイメージしてもらうとわかりやすいかなと思ったからです.回る方向の指定がなくても,解答は同じになります.