漸化式 a_{n+1} = a_n×a_{n-1}/p

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n a_{n-1}}{p}$ （ $p$ は定数）で表される数列の一般項を $a_{0}$ と $a_{1}$ を用いて表せ．

解答

$a_{n} = p e^{c_0 A_n + c_1 B_n } \ \ \ \ldots(1)$ とおく．ここで， $c_0$ ， $c_1$ は任意の定数である．

$a_{n+1} = p e^{c_0 A_{n+1} + c_1 B_{n+1} }$

${ \displaystyle \frac{a_n a_{n-1}}{p} = p e^{c_0 \left( A_{n} + A_{n-1} \right) + c_1 \left( B_{n} + B_{n-1} \right) } }$

よって，漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n a_{n-1}}{p}$ より，次式が成り立つ．

${ \displaystyle p e^{c_0 A_{n+1} + c_1 B_{n+1} } = p e^{c_0 \left( A_{n} + A_{n-1} \right) + c_1 \left( B_{n} + B_{n-1} \right) } \ \ \ \ldots (2) }$

$(2)$ 式の指数部を見比べることにより，次式を得る．

$A_{n+1} = A_{n} + A_{n-1} \ \ \ \ldots (3)$

$B_{n+1} = B_{n} + B_{n-1} \ \ \ \ldots (4)$

そこで， $(3)$ 式， $(4)$ 式をそれぞれ満たす数列として，フィボナッチ数列 $F_n$ とリュカ数列 $L_n$ を指定する．すなわち，

$A_{n} = F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right) ^n - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right) ^n \right\} \ \ \ \ldots (5)$

$B_{n} = L_n = \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right) ^n + \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right) ^n \ \ \ \ldots (6)$

とおく．

$(1)$ 式に $(5)$ 式と $(6)$ 式を代入して，次式を得る．

$a_{n} = p e^{c_0 F_n + c_1 L_n } \ \ \ \ldots(7)$

$(7)$ 式より，次式が成り立つ．

$a_0 = p e^{c_0 F_0 + c_1 L_0 } = p e^{2 c_1 } \ \ \ \ldots (8)$

$a_1 = p e^{c_0 F_1 + c_1 L_1 } = p e^{c_0 + c_1 } \ \ \ \ldots (9)$

$(8)$ 式より，次式が成り立つ．

$c_1 = \frac{1}{2} \ln \frac{a_0}{p} \ \ \ \ldots (10)$

$(9)$ 式と $(10)$ 式より，次式が成り立つ．

$c_0 = \ln \frac{a_1}{p} - \frac{1}{2} \ln \frac{a_0}{p} \ \ \ \ldots (11)$

$(5)$ 式， $(6)$ 式， $(7)$ 式， $(10)$ 式， $(11)$ 式より，求める数列の一般項は次式で表される．

$a_{n} = p \exp \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \ln \frac{a_1}{p} - \frac{1}{2} \ln \frac{a_0}{p} \right) \left\{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right) ^n - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right) ^n \right\} + \frac{1}{2} \ln \frac{a_0}{p} \left\{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right) ^n + \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right) ^n \right\} \right]$