Γ(i)Γ(-i) の値 - 頭の整理

ガンマ関数 $\Gamma (z)$ は次の無限乗積で定義されることがあります．

$\Gamma (z) = \lim _{n \to \infty} \frac{n^z n! }{ \prod _{k = 0} ^n \left(k + z \right) }$

虚数単位を $i$ とすると，上式より，次が成り立ちます．

$\Gamma (i) \Gamma (-i) = \left( \lim _{n \to \infty} \frac{n^i n! }{ \prod _{k = 0} ^n \left(k + i \right) } \right) \left( \lim _{n \to \infty} \frac{n^{-i} n! }{ \prod _{k = 0} ^n \left(k - i \right) } \right)$

${ \displaystyle = \lim _{n \to \infty} \frac{ \left( n! \right) ^2 }{ \prod _{k = 0} ^n \left(k + i \right) \left(k - i \right) } }$

${ \displaystyle = \lim _{n \to \infty} \frac{ \prod _{k = 1} ^n k^2 }{ \prod _{k = 0} ^n \left(k^2 + 1 \right) } }$

${ \displaystyle = \lim _{n \to \infty} \frac{ \prod _{k = 1} ^n k^2 }{ \prod _{k = 1} ^n \left(k^2 + 1 \right) } }$

${ \displaystyle = \lim _{n \to \infty} \prod _{k = 1} ^n \frac{ k^2 }{ k^2 + 1 } }$

${ \displaystyle = \prod _{k = 1} ^{\infty} \frac{ k^2 }{ k^2 + 1 } }$

${ \displaystyle = \frac{\pi}{\sinh \left( \pi \right) } }$

${ \displaystyle = \frac{2 \pi}{e^{\pi} - e^{- \pi} } }$

ガンマ関数入門 (はじめよう数学)

作者:エミールアルティン
出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2002/10
メディア: 単行本