頭の整理

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斜面を滑る物体を用いた重力加速度の測定

問題です.解答は下部に載せました.

問題

下図のように,小物体が点  { \displaystyle P } から点  { \displaystyle Q } までの長さ  { \displaystyle l } ,傾斜  { \displaystyle \theta } の斜面を滑り落ちたとする.また,小物体が点  { \displaystyle P } から点  { \displaystyle Q } に到達するまでに時間  { \displaystyle T } を要したとする.このとき,重力加速度  { \displaystyle g } の値を  { \displaystyle l, \theta , T } を用いて表せ.なお,斜面の摩擦,および空気抵抗は無視できるものとする.

 

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解答

力学的エネルギー保存則から,次式が成り立つ.

 { \displaystyle 2 gl \sin \theta = \left( \int_0^T \frac{dv}{dt} dt \right)^2 \ \ldots \left( 1 \right) }

ここで, { \displaystyle v } は斜面方向の速度, { \displaystyle t } は時間である.

また,斜面方向の加速度について,次式が成り立つ.

 { \displaystyle \frac{dv}{dt} = g \sin \theta \ \ldots \left( 2 \right) }

 { \displaystyle \left( 2 \right) } 式を  { \displaystyle \left( 1 \right) } 式に代入して,

 { \displaystyle 2 gl \sin \theta = \left( \int_0^T g \sin \theta dt \right)^2 = g^2 T^2 \sin ^2 \theta }

 { \displaystyle \therefore g = \frac{2l}{T^2 \sin \theta} }

 

 

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