算術平均のスケールずらし

問題です。解答は下部に載せました。

問題

$n + 1$ 個の任意の実数 $c , x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ について考える。

$x = \frac{x_1 + x_2 \ + \ , \ldots , + \ x_n }{n}$

とおく。このとき、 $X = x + c , X_1 = x_1 + c , X_2 = x_2 + c , \ldots , X_n = x_n + c$ とおくと、

$X = \frac{X_1 + X_2 \ + \ , \ldots , + \ X_n }{n}$

となることを示せ。

解答：

$x = \frac{x_1 + x_2 \ + \ , \ldots , + \ x_n }{n}$

$x + c = \frac{x_1 + x_2 \ + \ , \ldots , + \ x_n }{n} + c$

$x + c = \frac{x_1 + x_2 \ + \ , \ldots , + \ x_n + nc }{n}$

$x + c = \frac{ \left( x_1 + c \right) + \left( x_2 + c \right) \ + \ , \ldots , + \ \left( x_n + c \right) }{n}$

よって、

$X = \frac{X_1 + X_2 \ + \ , \ldots , + \ X_n }{n}$

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