1 - 1/4 + 1/7 - 1/10 + …

次の交代級数の和を求めます．

$\sum _{k = 1} ^{ \infty } \frac{ \left( -1 \right) ^{k - 1} }{3k - 2 } = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \cdots$

まず，関数 $f_n \left( x \right)$ を次式で与えます．

$f_n \left( x \right) = \frac{1}{1 + x^3} - \left( 1 - x^3 + x^6 + \cdots + x^{3n -3} \right)$

$= \frac{1}{1 + x^3} - \frac{1 - \left( - x^3 \right) ^n }{1 + x^3}$

$= \frac{ \left( -1 \right) ^n x ^{3n} }{1 + x^3}$

$f_n \left( x \right)$ の分母 $\left( 1 + x^3 \right)$ は $0 \leq x \leq 1$ で $1$ 以上であることに注意すると，次の不等式が成り立つ．

$0 \lt \left| \int _0 ^1 f_n \left( x \right) dx \right| \leq \int _0 ^1 \left| f_n \left( x \right) \right| dx \lt \int _0 ^1 x^{3n} dx = \frac{1}{3n +1}$

よって，はさみうちの原理より，

$\lim _{n \to \infty} \int _0 ^1 \left| f_n \left( x \right) \right| dx = 0$

$\lim _{n \to \infty} \int _0 ^1 f_n \left( x \right) dx = 0$

ここで，

$\lim _{n \to \infty} \int _0 ^1 f_n \left( x \right) dx = \int _0 ^1 \frac{1}{1 + x^3} dx - \sum _{k = 1} ^{ \infty } \frac{ \left( -1 \right) ^{k - 1} }{3k - 2 }$

よって，

${ \displaystyle \sum _{k = 1} ^{ \infty } \frac{ \left( -1 \right) ^{k - 1} }{3k - 2 } = \int _0 ^1 \frac{1}{1 + x^3} dx }$

$= \int _0 ^1 \left \{ \frac{2 - x}{3 \left( x^2 - x + 1 \right) } + \frac{1}{3 \left( x + 1 \right) } \right \} dx$

$= \frac{1}{3} \int _0 ^1 \frac{2 - x}{ x^2 - x + 1 } dx + \frac{1}{3} \int _0 ^1 \frac{1}{ x + 1 } dx$

ここで，

$\frac{1}{3} \int _0 ^1 \frac{1}{ x + 1 } dx = \frac{1}{3} \left [ \ln \left( x + 1 \right) \right ] _0 ^1 = \frac{ \ln 2 }{3}$

$\frac{1}{3} \int _0 ^1 \frac{2 - x}{ x^2 - x + 1 } dx$

$= \frac{1}{3} \int _0 ^1 \left \{ \frac{3}{ 2 \left( x^2 - x + 1 \right) } - \frac{2x -1}{2 \left( x^2 - x + 1 \right) } \right \} dx$

$= \frac{1}{2} \int _0 ^1 \frac{1}{ x^2 - x + 1 } dx - \frac{1}{6} \int _0 ^1 \frac{2x -1}{ x^2 - x + 1 } dx$

$= \frac{1}{2} \int _0 ^1 \frac{1}{ \left( x - \frac{1}{2} \right) ^2 + \frac{3}{4} } dx - \frac{1}{6} \left [ \ln \left( x^2 - x + 1 \right) \right ] _0 ^1$

$= \frac{1}{2} \int _{ - \frac{1}{2} } ^{ \frac{1}{2} } \frac{1}{ u^2 + \frac{3}{4} } du$

$= \frac{2}{3} \int _{ - \frac{1}{2} } ^{ \frac{1}{2} } \frac{1}{ \frac{4}{3} u^2 + 1 } du$

$= \frac{ \sqrt{3} }{3} \int _{ - \frac{1}{ \sqrt{3} } } ^{ \frac{1}{ \sqrt{3} } } \frac{1}{ v^2 + 1 } dv$

$= \frac{ \sqrt{3} }{3} \int _{ - \frac{\pi}{ 6 } } ^{ \frac{\pi}{ 6 } } d \theta$

$= \frac{ \sqrt{3} }{9} \pi$

よって，

${ \displaystyle \sum _{k = 1} ^{ \infty } \frac{ \left( -1 \right) ^{k - 1} }{3k - 2 } = \int _0 ^1 \frac{1}{1 + x^3} dx = \frac{ \sqrt{3} }{9} \pi + \frac{ \ln 2 }{3} }$