ここで，上式の第１項において，積分区間の下端０において の関数値は不定であるため，これより先は計算できない気がします． ただ，ロピタルの定理を用いて，次の極限値は求めることができます． この極限値を関数値の代わりに用いてもよいとすれば，先ほど…

矩形波を次の関数で表現することができそうです． ここで， は正の整数， ， ， ， は任意の定数です． KONAMI ゲーム ソングス 発売日: 2018/12/25 メディア: MP3 ダウンロード

ガンマ関数 は次の無限乗積で定義されることがあります． 虚数単位を とすると，上式より，次が成り立ちます． ガンマ関数入門 (はじめよう数学) 作者:エミール アルティン 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2002/10 メディア: 単行本

ポアソン和公式を用いて解ける例題です．解答は下部に載せました． 問題 を求めよ． 解答 とおく． よって，ポアソン和公式より，次式が成り立つ． と はいずれも偶関数であるから，次式が成り立つ． やさしく学べる ラプラス変換・フーリエ解析 増補版 作者…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 において直線 と放物線 が囲む面積を とする．ただし， は正の整数とする．このとき， を求めよ． 解答 放物線電気ヒーター、調節可能な傾斜付きの振動放射ヒーター、安全シャットオフ、高速加熱、家庭用温度レ…

有名な問題を少し拡張しました．解答は下部に載せました． 問題 数列 （ただし， は任意の定数）の第１項から第ｎ項までの和 を求めよ． また， を求めよ． 解答 数学の翼第８号 作者:清史弘 発売日: 2019/06/03 メディア: Kindle版

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 平面上に長さ の平行な２本の線分 と がある．直線 上にあり，点 からの距離が である点を とする．点 と線分 上の点 を結ぶ線分を とする．線分 の端点となる点 と点 との距離の最大値を とし．このときの点 …

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 一辺の長さが１の正三角形 がある．この正三角形を外心 を中心に反時計回りに 回転した正三角形を とする．ただし， とする．このとき，正三角形 と 正三角形 が重なる部分の面積 を求めよ． 解答 円周角の定理…

中学・高校・大学受験，大学の講義・レポート・卒論・修論，仕事で使う，暇つぶしに等々，数学の勉強をする機会は至る所に転がっています．ひと昔前は，勉強していて生じた自分では解決できそうもない疑問は，学校や塾の先生あるいは数学の得意な友達に聞く…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 漸化式 （ は定数）で表される数列の一般項を と を用いて表せ． 解答 とおく．ここで， ， は任意の定数である． よって，漸化式 より，次式が成り立つ． 式の指数部を見比べることにより，次式を得る． そこ…

有名な気がする問題です．解答は下部に載せました． 問題 を正の整数とする．次式が成り立つことを示せ． 解答 ニュートン式 超図解 最強に面白い!! 微分積分 作者: ?橋秀裕 出版社/メーカー: ニュートンプレス 発売日: 2019/02/22 メディア: 単行本（ソフト…

解説は省略しました． 問題 以下， は任意定数とする． １． は微分方程式 を満たすことを確かめよ． ２． は微分方程式 を満たすことを確かめよ． πとeの話―数の不思議 作者: Y.E.O.エイドリアン,久保儀明,蓮見亮 出版社/メーカー: 青土社 発売日: 2008/09/…

有名な問題です．解答は下部に載せました． 問題 複素数 について， が実数となる範囲を複素数平面に図示せよ．ただし， は任意の実数定数とする． 解答 とおく．ただし， は虚数単位とする． 式が実数となることから，次式が成り立つ． 式より，次式が成り…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 とする．ただし， は虚数単位であり， ， はいずれも任意の実数とする． 平面上の４つの直線 ， ， ， が関数 によってそれぞれ 平面上の曲線 ， ， ， に写されるとする．このとき，次の問いに答えよ． １．曲…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 １．奇数を２で割った余りは１であることを示せ． ２．奇数の２乗を４で割った余りは１であることを示せ． ３．奇数の４乗を１６で割った余りは１であることを示せ． 解答 奇数 を と表す． １．題意を示すため…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 座標平面上において，原点を中心とする半径１の円を二等分する の三次関数 を求めよ．ただし， とする．また， により描かれる曲線は，原点を中心とする半径１の円と および 以外で交点を持たないものとする． …

次の数列の漸化式について考えます． ただし， は実数の定数とします． まず，数列 を次のようにおきます． そして， を に代入します． 式の分母を見比べると，次式が成り立っているといえます． 式は隣接３項間の漸化式であるので，特性方程式 を解くと， …

関数 上の一点 に置いた質点 が関数 上を力学的エネルギー保存則を満たしながら動くとします．ただし，関数 の最小値 において，位置エネルギーは０とします．質点 の座標を とすると，力学的エネルギー保存則から次式が成り立ちます． ここで， は重力加速…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 複数人で意見を順番に言っていくゲームを考える．例えば，３人の場合，下図のように１番の人が意見を言った後に２番の人が意見を言い，２番の人が意見を言った後に３番の人が意見を言い，３番の人が意見を言っ…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 下図のように長さが１０の枠がある．ここに長さが２，３，４，６のタイルを適当に敷く．ただし，タイルを敷かないところがあってもよい．また，タイルは何種類を何個ずつ使ってもよい．このとき，タイルの敷き…

上図のように交点 を持つ２つの関数 と があります．これら２つの関数を交点で連結した次の関数があります． ここで， を場合分けをせずに表す方法を考えてみると，例えば次のような方法があります． はヘヴィサイドの階段関数の段を上る位置を とし， にお…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 座標平面上に直線 と直線 がある．ここで， ， ， とする． と の交点から 軸上に垂線 を下ろす． 軸と および で囲まれた部分の面積を ， 軸と および で囲まれた部分の面積を ， 軸と および で囲まれた部分…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 三角形 において頂点 から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から の中点 に向けて中線 を引く．以後， から の中点 に向けて中線 を引くことを繰り返す．…

誤差関数 と呼ばれる関数があります． この記事では，誤差関数に含まれる の指数を任意の実数定数 とおき， をかけた次式について考えます． 式を で微分すると次式になります． よって， 式の微分方程式の一般解は次式で表されます． ここで， は任意の定数…

微分方程式 について考えます．ここで， は任意の実数とします． １． のとき 式の解は次式で表されます． ここで， は任意の実数とします． ２． のとき まず， 式の解が次式で表されると仮定します． ここで， ， ， はいずれも任意の実数とします． 式を …

下図のような，動径の長さを１に固定した球面座標系を考えます． この座標系において，点Pのｘ座標，ｙ座標，ｚ座標はそれぞれ次式で表されます． 今， 関係が次式で与えられているとします． このとき，点Pのｘ座標，ｙ座標，ｚ座標はそれぞれ次式で表され…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 １．相似な平面図形 と がある． から をくりぬいた図形の面積が の面積の 倍であるとき（ただし， ）， と の相似比を求めよ． ２．相似な空間図形 と がある． から をくりぬいた図形の体積が の体積の 倍で…

次式で表される漸化式について考えます． ここで， ， ， は任意の定数です．ただし， ， ， とします． を解くために，まずは次式を考えます． ここで， は０でない任意の定数です． 式を 式に代入すると，次式が得られます． 式を について解くと次式を得…

下図のように，石を中心から順に正六角形を描くように配置していったときに，置いた石の数を”中心つき六角数”といいます．下図の場合，中心つき六角数は１９で，これは３番目の中心つき六角数になります． 番目の中心つき六角数 は次式で表されます． 上の式…

確率 で起こる事象 が， 回の独立試行の結果 回起こるとします．このとき， は確率変数であり，その確率分布は二項分布 と呼ばれ，次式で表されます． ここで， を正の定数として，次の不等式を考えます． 上の不等式を について解くと，次式になります． そ…