アルカンとは分子式が一般式 で表される鎖式飽和炭化水素のことです。また、分子式が同じで、構造式が異なる化合物同士を、たがいに構造異性体と呼びます。アルカンの構造異性体の種類は、炭素原子の結合の枝分かれの様子で決まります。また、結合している炭…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 下図のように，２の冪乗をL字型に繰り返し並べた配置の斜め方向の和 を考える．下図から， ， ， ， ， ， であることがわかる．ここで， として，次の問いに答えよ． １． を を用いて表せ． ２． の一般項を…

De Bruijn 数列に関する問題です．解答は下部に載せました． 問題 種の文字から作れる文字列を長さ の読み枠で左から順に読んでいくとき，同じ文字列が読まれない最長の文字列の長さを と表す．また， 種の文字から作れる長さ の文字列の種類の数を と表す．…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 を正の整数とする． 以下の正の整数を横一列に並べた列の集合を とする．ただし， 以下の正の整数の並べ方は問わないものとする． の元 を とおく．ここで， は 以下の正の整数であり， ならば， を満たしてい…

有名な問題を少し拡張しました．解答は下部に載せました． 問題 数列 （ただし， は任意の定数）の第１項から第ｎ項までの和 を求めよ． また， を求めよ． 解答 数学の翼第８号 作者:清史弘 発売日: 2019/06/03 メディア: Kindle版

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 漸化式 （ は定数）で表される数列の一般項を と を用いて表せ． 解答 とおく．ここで， ， は任意の定数である． よって，漸化式 より，次式が成り立つ． 式の指数部を見比べることにより，次式を得る． そこ…

次の数列の漸化式について考えます． ただし， は実数の定数とします． まず，数列 を次のようにおきます． そして， を に代入します． 式の分母を見比べると，次式が成り立っているといえます． 式は隣接３項間の漸化式であるので，特性方程式 を解くと， …

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 三角形 において頂点 から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から の中点 に向けて中線 を引く．以後， から の中点 に向けて中線 を引くことを繰り返す．…

次式で表される漸化式について考えます． ここで， ， ， は任意の定数です．ただし， ， ， とします． を解くために，まずは次式を考えます． ここで， は０でない任意の定数です． 式を 式に代入すると，次式が得られます． 式を について解くと次式を得…

下図のように，石を中心から順に正六角形を描くように配置していったときに，置いた石の数を”中心つき六角数”といいます．下図の場合，中心つき六角数は１９で，これは３番目の中心つき六角数になります． 番目の中心つき六角数 は次式で表されます． 上の式…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題：１辺の長さが１の正三角形に正方形を内接させる．ただし，正方形の４辺のうち１辺は外接している正三角形の１辺上にあるとすると，この辺の対辺と外接している正三角形の２辺からなる三角形は正三角形となる．…

パスカルの三角形の各段の数を左詰めで書くと下のように書くことができます．ただし，”|”は各数を区別する仕切りを表しています． １段目：１ ２段目：１|１ ３段目：１|２|１ ４段目：１|３|３|１ ・・・ このパスカルの三角形を途中の段で折り返し，以後折…

自作問題です．解答は下部に載せました．こういう問題を見ていると，実験データに数理モデルがよく適合することの意味はどこにあるのだろうと思えてきます． 問題 次の数列の一般項を求めよ． （１） （２） （３） （４） （５） （６） 解答 を正の整数， …

約数をつかったすごろくを考えてみました． ”約数すごろく” ルール（１人プレイのとき） １．スタートのマスにコマを置く．スタートのマスには が書かれており，マスにはスタートからゴールまで から の自然数が書かれている．（スタートのマスに書かれた数…

循環数列についての問題です．解答は下部に載せました． 問題 を虚数単位， および を自然数， を整数とする．このとき，次の問いに答えよ． １． が成り立つことを証明せよ． ２． が の倍数であるとき， であることを証明せよ． ３． が の倍数でないとき…

数列の自作問題です．解答は下部に載せてありますが，解説は省略しました． 問題 次のように整数を絶対値の小さいほうから順に並べた数列がある． ，，，，，， この数列の第 項を とするとき， を の式で表せ． 解答 漸化式： 一般項： ※筆者は漸化式の解き…

数列の自作問題です．解答は下部に載せてあります． 問題 座標平面において， 軸上に点 を， 軸上に点 をそれぞれとる．ただし， ， はともに でない実数値とする．線分 の垂直二等分線 を引き， と 軸および 軸との交点をそれぞれ ， とする．以後同様に，…

正方形にはいくつかの無限等比数列が潜んでいます．この記事では１辺の長さが１の正方形を例にとり，２つの無限等比数列について紹介します． （１）長辺の中点を通り，長辺に垂直な直線を次々と引くことで得られる数列 これは面積に関する無限等比数列です…

風変わりな数列の漸化式を紹介します． は， という制限付きであれば，以下のように解くことができます． まず， から次の２つの式を導出します． の左辺と右辺が等しいことに着目して， の左辺と右辺を の左辺と右辺でそれぞれ割り，次式を得ます． の右辺…

まず，下の図のような斜辺の長さが1の直角三角形を考えます． この直角三角形に，次の図のように補助線を引いていきます．そして，斜辺が分割されることで現れる線分を順に ，底辺が分割されることで現れる線分を順に ，底辺に垂直な線分を順に ，斜辺に垂直…

自然数の平方の和を求める、次の公式 について、この公式の碁石を用いた導出を考えてみます。 まず、黒い石を下のように並べて、4個の正方形をつくります。 このとき、黒い石の個数の合計は1から4までの自然数の平方の和と等しくなっています。n個の正方形を…