自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 とする．ただし， は虚数単位であり， ， はいずれも任意の実数とする． 平面上の４つの直線 ， ， ， が関数 によってそれぞれ 平面上の曲線 ， ， ， に写されるとする．このとき，次の問いに答えよ． １．曲…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 １．奇数を２で割った余りは１であることを示せ． ２．奇数の２乗を４で割った余りは１であることを示せ． ３．奇数の４乗を１６で割った余りは１であることを示せ． 解答 奇数 を と表す． １．題意を示すため…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 座標平面上において，原点を中心とする半径１の円を二等分する の三次関数 を求めよ．ただし， とする．また， により描かれる曲線は，原点を中心とする半径１の円と および 以外で交点を持たないものとする． …

次の数列の漸化式について考えます． ただし， は実数の定数とします． まず，数列 を次のようにおきます． そして， を に代入します． 式の分母を見比べると，次式が成り立っているといえます． 式は隣接３項間の漸化式であるので，特性方程式 を解くと， …

関数 上の一点 に置いた質点 が関数 上を力学的エネルギー保存則を満たしながら動くとします．ただし，関数 の最小値 において，位置エネルギーは０とします．質点 の座標を とすると，力学的エネルギー保存則から次式が成り立ちます． ここで， は重力加速…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 複数人で意見を順番に言っていくゲームを考える．例えば，３人の場合，下図のように１番の人が意見を言った後に２番の人が意見を言い，２番の人が意見を言った後に３番の人が意見を言い，３番の人が意見を言っ…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 下図のように長さが１０の枠がある．ここに長さが２，３，４，６のタイルを適当に敷く．ただし，タイルを敷かないところがあってもよい．また，タイルは何種類を何個ずつ使ってもよい．このとき，タイルの敷き…

上図のように交点 を持つ２つの関数 と があります．これら２つの関数を交点で連結した次の関数があります． ここで， を場合分けをせずに表す方法を考えてみると，例えば次のような方法があります． はヘヴィサイドの階段関数の段を上る位置を とし， にお…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 座標平面上に直線 と直線 がある．ここで， ， ， とする． と の交点から 軸上に垂線 を下ろす． 軸と および で囲まれた部分の面積を ， 軸と および で囲まれた部分の面積を ， 軸と および で囲まれた部分…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 三角形 において頂点 から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から の中点 に向けて中線 を引く．以後， から の中点 に向けて中線 を引くことを繰り返す．…

誤差関数 と呼ばれる関数があります． この記事では，誤差関数に含まれる の指数を任意の実数定数 とおき， をかけた次式について考えます． 式を で微分すると次式になります． よって， 式の微分方程式の一般解は次式で表されます． ここで， は任意の定数…

微分方程式 について考えます．ここで， は任意の実数とします． １． のとき 式の解は次式で表されます． ここで， は任意の実数とします． ２． のとき まず， 式の解が次式で表されると仮定します． ここで， ， ， はいずれも任意の実数とします． 式を …

下図のような，動径の長さを１に固定した球面座標系を考えます． この座標系において，点Pのｘ座標，ｙ座標，ｚ座標はそれぞれ次式で表されます． 今， 関係が次式で与えられているとします． このとき，点Pのｘ座標，ｙ座標，ｚ座標はそれぞれ次式で表され…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 １．相似な平面図形 と がある． から をくりぬいた図形の面積が の面積の 倍であるとき（ただし， ）， と の相似比を求めよ． ２．相似な空間図形 と がある． から をくりぬいた図形の体積が の体積の 倍で…

次式で表される漸化式について考えます． ここで， ， ， は任意の定数です．ただし， ， ， とします． を解くために，まずは次式を考えます． ここで， は０でない任意の定数です． 式を 式に代入すると，次式が得られます． 式を について解くと次式を得…