１に収束する無限級数の構成

問題です。解答は下部に載せました。

問題： $\displaystyle { n }$ を非負整数、 $\displaystyle { 0 \leq r_n \lt 1 }$ とする。このとき、 $\displaystyle { P_n = r_n \prod_{k = 0}^{n - 1} \left( 1 - r_k \right) }$ とおけば、

$\displaystyle { \sum_{n = 0}^{\infty} P_n = 1 }$

となることを示せ。

解答： $\displaystyle { m }$ を $\displaystyle { n }$ より大きい正の整数として、

$\displaystyle { Q_n = r_n \prod_{k = 0}^{n - 1} \left( 1 - r_k \right) \ \ \left( 0 \leq n \leq m -1 \right) \ \ldots \left( 1 \right) }$

$\displaystyle { Q_m = \prod_{k = 0}^{m - 1} \left( 1 - r_k \right) \ldots \left( 2 \right) }$

とおく。このとき、

$\displaystyle { \sum_{n = 0}^{m} Q_n = 1 \ldots \left( 3 \right)}$

である。なぜなら、

$\displaystyle { Q_m + Q_{m - 1} = \prod_{k = 0}^{m - 2} \left( 1 - r_k \right) }$

$\displaystyle { Q_m + Q_{m - 1} + Q_{m - 2} = \prod_{k = 0}^{m - 3} \left( 1 - r_k \right) }$

$\displaystyle { \ldots }$

$\displaystyle { \sum_{n = 0}^{m} Q_n = 1 }$

となるからである。

$\displaystyle { 0 \lt 1 - r_n \leq 1 }$ であるから、 $\displaystyle { \left( 2 \right)}$ より、

$\displaystyle { \lim_{m \to \infty } Q_m = 0 }$

である。よって、

$\displaystyle { \lim_{m \to \infty } \sum_{n = 0}^{m} Q_n }$

を計算する際に、各項の値はすべて $\displaystyle { \left( 1 \right)}$ によって与えても構わない。 $\displaystyle { \left( 3 \right)}$ は、 $\displaystyle { m }$ を任意に大きく取っても成り立つので、

$\displaystyle { \lim_{m \to \infty } \sum_{n = 0}^{m} Q_n = \sum_{n = 0}^{\infty} r_n \prod_{k = 0}^{n - 1} \left( 1 - r_k \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} P_n = 1 }$

（証明終）

具体例：例えば、 $\displaystyle { r_n = \frac{1}{n + 2} }$ とおけば、これは $\displaystyle { 0 \leq r_n \lt 1 }$ を満たしているので、

$\displaystyle { \sum_{n = 0}^{\infty} P_n = \sum_{n = 0}^{\infty} r_n \prod_{k = 0}^{n - 1} \left( 1 - r_k \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 2} \prod_{k = 0}^{n - 1} \left( 1 - \frac{1}{k + 2} \right) = 1 }$