平面図形
問題です。解答は下部に載せました。 問題：円 と直線 の交点のうち、 座標が正のものを点 とする。ただし、 、 とする。また、直線 と円 との２つの交点のうち、 座標が正のものを 、 座標が負のものを とする。このとき、線分 、線分 および弧 で囲まれた…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 三角形 があり， ， ，角 とする． 頂点 を中心に半径 の円 を描き， と辺 の交点を とする．中心角 の扇形 の面積を とし， 三角形 からこの扇形を取り除いた部分の面積を とする．このとき， を求めよ． 解答…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 平面上に長さ の平行な２本の線分 と がある．直線 上にあり，点 からの距離が である点を とする．点 と線分 上の点 を結ぶ線分を とする．線分 の端点となる点 と点 との距離の最大値を とし．このときの点 …
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 一辺の長さが１の正三角形 がある．この正三角形を外心 を中心に反時計回りに 回転した正三角形を とする．ただし， とする．このとき，正三角形 と 正三角形 が重なる部分の面積 を求めよ． 解答 円周角の定理…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 座標平面上に直線 と直線 がある．ここで， ， ， とする． と の交点から 軸上に垂線 を下ろす． 軸と および で囲まれた部分の面積を ， 軸と および で囲まれた部分の面積を ， 軸と および で囲まれた部分…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 三角形 において頂点 から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から辺 の中点 に向けて中線 を引く．続いて， から の中点 に向けて中線 を引く．以後， から の中点 に向けて中線 を引くことを繰り返す．…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 １．相似な平面図形 と がある． から をくりぬいた図形の面積が の面積の 倍であるとき（ただし， ）， と の相似比を求めよ． ２．相似な空間図形 と がある． から をくりぬいた図形の体積が の体積の 倍で…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題：１辺の長さが１の正三角形に正方形を内接させる．ただし，正方形の４辺のうち１辺は外接している正三角形の１辺上にあるとすると，この辺の対辺と外接している正三角形の２辺からなる三角形は正三角形となる．…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 下図のようにタテヨコ方向に格子点が３個ずつ並んだ正方格子がある．このとき，次の問いに答えよ． １．格子点から２点を選んで線分を引くとき，線分の引き方は何通りあるか． ２．格子点から２点を選んで線分…
自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 下図のように直角三角形の三辺を半径とする３つの円を描き，半径が短い方から順に ， ， とする． ， ， の面積をそれぞれ ， ， とするとき， が成り立つことを示せ． 解答 直角三角形の三辺の長さを ， ，（…
直交座標平面上の３点 ，， からなる三角形 の外心の座標 を求めます． ３点 ，， はいずれも点 を中心とする外接円上にあります．ゆえに，外接円の半径を とすると，次の３つの式が成り立ちます． これらの式を連立して解くと， となり，外心の座標 を求め…
遊☆戯☆王には美しい幾何学模様が描かれたカードが登場しますが，今回はその中でも「六芒星の呪縛」と「オレイカルコスの結界」について考えてみました． まず，「六芒星の呪縛」は対象としたモンスターの攻撃と表示形式の変更を封じる罠カードです．原作では…
アメリカ生まれの幾何学者 Roger Arthur Johnson(1890-1954) が1916年に発表した論文 "A Circle Theorem" の中で示された”Johnson の定理”という定理があります．この定理の内容は， 「3つの等しい円がある一点 で交わるとき，3つの円から選んだ2つの円の 以…
下図のような三角形の外接円の半径 は，正弦定理より次式で求められます． ここで， です．また，余弦定理より， よって， を に代入すると， になり，三角形の3辺の長さから外接円の半径を求める公式を導出することができました． 三角関数 (図解雑学) 作者…
余弦定理は，三角形 について成り立つ次の等式です． 上の3つの等式はいずれも三角形の3辺の長さと，一つの内角を用いて表されています．今回は，これらの等式を三角形の3つの内角を用いた表示に変形します． まず，三角形 の外接円の半径を とすると，正弦…
ドイツ生まれの機械工学者フランツ・ルーロー（Franz Reuleaux，1829-1905）が考察したと言われる「ルーローの三角形」という図形があります． ルーローの三角形は定規とコンパスを用いて作図することができます．作図の手順は以下の通りです． (1) 線分を1…
まず，下の図のような斜辺の長さが1の直角三角形を考えます． この直角三角形に，次の図のように補助線を引いていきます．そして，斜辺が分割されることで現れる線分を順に ，底辺が分割されることで現れる線分を順に ，底辺に垂直な線分を順に ，斜辺に垂直…
整式の展開に用いる次の公式 について、これの図形的意味を考えてみます。左辺を見ると、これは一辺の長さが の正方形の面積を表しています。 ここで，下の図を見てください．一辺の長さが の正方形は，一辺の長さが の正方形，一辺の長さが の正方形，およ…
円周率 が4より小さいことを図形的に証明します．証明の流れとしては，正方形と円の面積からのアプローチになります． 証明：まず，正方形と円の面積が等しくなる条件について考える．上の左側に示した図のように，正方形が円に外接しているときは，明らかに…
