「連続する 個の整数の積は の倍数である」 上の定理は有名で，ネット上にもいくつか証明が上がっていますが，この記事では非常に簡単な証明を紹介します． 証明：整数を任意の位置から任意の方向（正負いずれか）に一つずつ数えていくと， の倍数が 個飛び…

生きていると，「恐怖」を感じる場面に出会います．友人に嫌われそうになったとき，先生に怒られそうになったとき，人気のない夜道を一人で歩くとき，等々． 「恐怖」の感情は，恐怖を克服しようとするモチベーションを産み出します．そのため，やりたくなく…

ポテチ，おいしいですよね．この前，フライパンを使ってポテチを手作りしてみました．簡単に作れたので紹介します． 材料：じゃがいも，サラダ油，塩 道具：包丁，ピーラー，ボウル，キッチンペーパー，お皿 作り方： １．じゃがいもの皮をむきます．むきか…

「好きこそものの上手なれ」ということわざがありますが，何でも楽しんで取り組むことが非常に大切だと思います．何かに楽しんで取り組んでいる時には，余計なことを忘れて取り組んでいるものに集中できます．パフォーマンスを上げるためには，何でも楽しん…

「エネルギー」は科学の重要な概念です．太陽から電磁波の形で地球に届くエネルギーは，様々な「もの，こと」にその姿を変えて私たちの住む世界を形作っています．私たち自身もご飯を食べたり，太陽の光を浴びたり，運動するなど，絶えず外界とエネルギーの…

ファインマン物理学でも取り上げられている，「ランダムウォーク」における原点からの距離の期待値について計算してみます． まず，「１次元ランダムウォーク」とは次のような操作のことを示します． １．原点Oに点Pがある． ２．コインを１回投げる．表が出…

遊☆戯☆王には美しい幾何学模様が描かれたカードが登場しますが，今回はその中でも「六芒星の呪縛」と「オレイカルコスの結界」について考えてみました． まず，「六芒星の呪縛」は対象としたモンスターの攻撃と表示形式の変更を封じる罠カードです．原作では…

アメリカ生まれの幾何学者 Roger Arthur Johnson(1890-1954) が1916年に発表した論文 "A Circle Theorem" の中で示された”Johnson の定理”という定理があります．この定理の内容は， 「3つの等しい円がある一点 で交わるとき，3つの円から選んだ2つの円の 以…

下図のような三角形の外接円の半径 は，正弦定理より次式で求められます． ここで， です．また，余弦定理より， よって， を に代入すると， になり，三角形の3辺の長さから外接円の半径を求める公式を導出することができました． 三角関数 (図解雑学) 作者…

余弦定理は，三角形 について成り立つ次の等式です． 上の3つの等式はいずれも三角形の3辺の長さと，一つの内角を用いて表されています．今回は，これらの等式を三角形の3つの内角を用いた表示に変形します． まず，三角形 の外接円の半径を とすると，正弦…

関数の極限値を求めるときに，極限値の値がそのままでは定まらない場合があり，これを「不定形」と言います．不定形には，次の3パターンがあります． ， ， は不定形ではないです．注意しましょう． の例 分母，分子ともに変数 を にどんどん近づけたときの…

ドイツ生まれの機械工学者フランツ・ルーロー（Franz Reuleaux，1829-1905）が考察したと言われる「ルーローの三角形」という図形があります． ルーローの三角形は定規とコンパスを用いて作図することができます．作図の手順は以下の通りです． (1) 線分を1…

「エラトステネスのふるい」は，指定した自然数 以下の素数を求めるアルゴリズムの一つです．このアルゴリズムは次の(1)～(5)の手順で構成されています． (1) 自然数が一列に1から左から順に まで並んで書かれた表，碁石，マーカーを用意します． (2) 碁石を…

まず，下の図のような斜辺の長さが1の直角三角形を考えます． この直角三角形に，次の図のように補助線を引いていきます．そして，斜辺が分割されることで現れる線分を順に ，底辺が分割されることで現れる線分を順に ，底辺に垂直な線分を順に ，斜辺に垂直…

遊☆戯☆王を読んだことがある人なら多くの人が一度は欲しいと思ったモンスターカードと言えば，やはり青眼の白龍（ブルーアイズ・ホワイトドラゴン）だと思います． 【シングルカード】青眼の白龍(ブルーアイズ･ホワイト･ドラゴン)/シークレット - 型番なし …

仕事が運動エネルギーの変化に等しいことを示すときに，力 を距離で積分することがあります． 例えば，下の図のように高さ にある質量 の小球を自由落下させ，小球が高さ に到達するまでの過程を考えます．なお， はそれぞれ高さ における小球の速度とします…

硫安と消石灰はいずれも畑の土づくりに用いる資材です．硫安は土の中に含まれる窒素を補うために，消石灰は土のpHを調節するためにそれぞれ用います．しかし，この二つの資材を同時に混ぜて使うことは危険を伴います．それは，人体に有毒なアンモニアガスが…

マラソン大会では大勢の人が一度にスタートを切って走り始めます．スタートしてからしばらく経つと，選手は皆走る速さに違いがあるので，それぞれの選手が走っている場所はばらばらになっています．このとき，選手は平均するとどの位置を走っているのかを知…

自然数の平方の和を求める、次の公式 について、この公式の碁石を用いた導出を考えてみます。 まず、黒い石を下のように並べて、4個の正方形をつくります。 このとき、黒い石の個数の合計は1から4までの自然数の平方の和と等しくなっています。n個の正方形を…

多変数複素函数論の研究で世界的に有名な日本の数学者，岡潔（1901-1978）が幼少期に父親から受けた唯一の道義教育は「他を先にして自分を後にせよ」というものでした． これは，決して「自分の意志ではなく，他人の意志に従え」ということではないと思いま…

「ラッセルのパラドックス」はイギリスの数学者・哲学者であるラッセル（Bertrand Russell, 1872-1970）が集合論の研究において発見したパラドックスです．その内容は， 「己自身を元として持たない集合の全体を とする． は に含まれるとしても，含まれない…

整式の展開に用いる次の公式 について、これの図形的意味を考えてみます。左辺を見ると、これは一辺の長さが の正方形の面積を表しています。 ここで，下の図を見てください．一辺の長さが の正方形は，一辺の長さが の正方形，一辺の長さが の正方形，およ…

円周率 が4より小さいことを図形的に証明します．証明の流れとしては，正方形と円の面積からのアプローチになります． 証明：まず，正方形と円の面積が等しくなる条件について考える．上の左側に示した図のように，正方形が円に外接しているときは，明らかに…

積分を用いて円錐の体積 を求める以下の公式を導出します． ここで， は底面の半径， は円錐の高さとします． 証明：まず，x-y平面上に原点を通る直線を考えます．この直線とx軸とのなす角をθとすると，この直線は と表せます．この直線の式とx軸および2直線…

この公式の導出はよく忘れるので，ここでまとめておきます． -底の変換公式- ，， が正の数で，， のとき， 証明： とおくと， を底とする両辺の対数をとると， すなわち， だから， であるため， 補足： の条件は，分母が0とならないために必要です． は対…

1日を24時間にして，1時間と1分をそれぞれ60分と60秒にした理由は何なのでしょうか．僕は，この二つの数は約数が多いから，スケジュールを組む時に分数を使わなくても細かく予定を立てやすいから採用したのだと思っていたのですが，果たしてこの二つの数は本…

昔，高校で理科の先生に聞いて，はっとした話です． 赤外線ヒーター（遠赤外線ヒーター）は電源を入れると赤色の光を灯して暖かいが，赤外線自体は赤色ではない，ということです． 赤外線は人間の眼で認識することができる可視光線よりも波長の長い電磁波で…

水中に潜った時に水の重さによって自分の身体にかかる圧力を「水圧」とします．水深 にある自分の身体にかかる水圧 は次式で表されます． ここで， は水の密度， は重力加速度とします． 上式を導出する簡単な方法として，高さ ，底面積 の直方体を水中に作…

二次関数について整理します． まず，二次関数とは次の一般式で表される関数です． ここで，関数の形を決めるパラメータはa,b,cの3つあります．そのため，x-y平面上で異なる3点を指定すると，それらの点を通る二次関数は一意に定まります． 3点，，を通る二…

こんにちは．Matsu-Kihamと申します． このブログでは自分の頭の中にある様々な考えを整理します．ブログの一番の目的は自分の頭の中を整理することなので，日記のようになることもありますが，興味のある方はどうぞご一読ください． 全体的に数学関連の記事…