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碁石を用いた自然数の平方の和の公式の導出

数列

自然数の平方の和を求める、次の公式

{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2{}=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) }

について、この公式の碁石を用いた導出を考えてみます。

まず、黒い石を下のように並べて、4個の正方形をつくります。

 

f:id:todayf0rmu1a:20180402202837j:plain

 

このとき、黒い石の個数の合計は1から4までの自然数の平方の和と等しくなっています。n個の正方形をつくったときは、黒い石の個数の合計は1からnまでの自然数の平方の和と等しくなっており、

(黒い石の個数の合計) { \displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^2{} }

が成り立ちます。

また、n番目の正方形を作っている黒い石の個数は、n番目の自然数の平方であり、上の公式の第n項と等しくなっています。

次に、上の正方形の”段差”になっている部分に白い石を置いていきます。すると、下のように一つの大きな長方形ができあがります。

 

f:id:todayf0rmu1a:20180402203744j:plain

 

ここで、この長方形の面積を考えてみます。縦の長さは4ですが、これは正方形を4個並べたことによります。そのため，n個の正方形をならべたときには、縦の長さはnになります。

次に、横の長さを考えると、横の長さは1から4までの自然数の和になっています。つまり、n個の正方形を並べた時には、横の長さは1からnまでの自然数の和、すなわち、

(長方形の横の長さ) { \displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k{}=\frac{1}{2}n(n+1) }

となります。よって、この長方形の面積は、

(面積) { \displaystyle =n\sum_{k=1}^{n}k{} }

となります．

f:id:todayf0rmu1a:20180402224211j:plain

 

ところで、1からnまでの自然数の平方の和は、黒い石の個数の合計で表せました。そこで、黒い石の個数の合計を、長方形の面積と関連付けると、

(黒い石の個数の合計) { \displaystyle = } (長方形の面積) { \displaystyle - } (白い石の個数の合計)

{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2{}=n\sum_{k=1}^{n}k{}\ - } (白い石の個数の合計)

となります。では、白い石の個数の合計はどのように表せるのでしょうか。

n番目の正方形を作った時に生まれる段差を埋めるのに、白い石は1からn-1までの自然数の和だけ必要なことがわかります。

2番目の正方形を作った時には、白い石が1個必要であり、3番目の正方形を作った時には、白い石が1+2=3個必要であり、4番目の正方形を作った時には1+2+3=6個必要という具合です。

そのため、正方形を4個作る時には、白い石が合計1+3+6=10個必要ということになります。

1からn-1までの自然数の和は、

{ \displaystyle \frac{1}{2}(n-1)n }

で表せるので、正方形をn個作る時に必要な白い石の個数の合計は、

(白い石の個数の合計) { \displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(k-1)k{} }

と表せます。よって、下の等式が成り立ち、これを以下のように変形していくと、冒頭に示した公式が現れます。

{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2{}=n\sum^{}k{}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(k-1)k }


{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2{}=n\sum_{k=1}^{n}k{}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^2{}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k{} }


{ \displaystyle \frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n}k^2{}=(n+\frac{1}{2})\sum_{k=1}^{n}k{} }


{ \displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^2{}=(2n+1)\sum_{k=1}^{n}k{}=(2n+1)\times\frac{1}{2}n(n+1) }


{ \displaystyle \therefore\,\sum_{k=1}^{n}k^2{}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) }

 

 

数学ガールの秘密ノート／数列の広場

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