x=((sinθ)^n)cosθ, y=(sinθ)^(n+1) が描く曲線で囲まれた領域の面積

問題です。解答は下部に載せました。

問題： $x = \left( \sin \theta \right) ^n \cos \theta , \ y = \left( \sin \theta \right) ^{n+1} \ \ \left( n = 1, 2, \ldots \right)$ とする。

このとき、 $\int_0 ^1 x \ dy$ を求めよ。

解答

$\frac{dy}{d \theta} = \left( n + 1 \right) \left( \sin \theta \right) ^n \cos \theta$ であり、積分区間を

$y : 0 \to 1$

$\theta : 0 \to \frac{\pi}{2}$

のように変更すると、

　 $\int_0 ^1 x \ dy$

$= \left( n + 1 \right) \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin \theta \right) ^{2n} \cos ^2 \theta \ d \theta$

$= \left( n + 1 \right) \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin \theta \right) ^{2n} \left( 1 - \sin ^2 \theta \right) \ d \theta$

$= \left( n + 1 \right) \left \{ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin \theta \right) ^{2n} \ d \theta - \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin \theta \right) ^{2n + 2} \ d \theta \right \}$

$= \frac{\pi \left( n + 1 \right)}{2} \left( 1 - \frac{ 2n + 1}{2n +2} \right) \prod _{k=0} ^{n - 1} \frac{2n -2k -1}{2n -2k}$ 　（ウォリス積分）

$= \frac{\pi \left( n + 1 \right)}{4n + 4} \prod _{k=0} ^{n - 1} \frac{2 \left(n - k \right) -1}{2 \left(n - k \right) }$

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上図は、 $n = 2,3,4$ の場合に、 $0 \leq \theta \lt 2\pi$ の範囲でグラフを描いたものです。関数 $f \left( x \left( \theta \right) , y \left( \theta \right) \right)$ は $n$ が奇数のときは周期 $\pi$ 、 $n$ が偶数のときは周期 $2 \pi$ となっています。