反転引き算―Reverse and Subtract―

Reverse and Subtract（日本語に直すと「反転引き算」）と呼ばれる次のような計算があります．

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$10$ 進法で表した自然数 $n$ の反転引き算を次式で定義する．

$| n - R (n) |$

ここで， $R (n)$ は $n$ の各桁の数字を逆に並べた数である．

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例えば， $n=2019$ とすると， $R (n) = 9102$ であり， $| n - R (n) | = |2019-9102| = 7083$

となります．この記事では，反転引き算が持つ特徴をいくつか紹介していきます．また，ブログの最後には反転引き算を計算するＶＢＡのソースコードを掲載します．

１．反転引き算の結果が０になるのは回分数である．

反転引き算の結果が０になるためには各桁の数字を逆に並べた数が元の数に等しくなる必要があります．このような数は”回分数”と呼ばれています．

２．１桁，２桁および３桁の数は反転引き算を繰り返すといずれは０に達する．

すべての１桁の数は回分数であるので，１回反転引き算を行うと０に到達します．２桁および３桁の数には回分数であるものと，そうでないものが含まれますが，回分数でなくても反転引き算を繰り返すとすべて０に到達します．例えば，１３は回分数ではありませんが反転引き算を６回繰り返すと０に到達します．

$13, 18, 63, 27, 45, 9, 0$

３．反転引き算は桁数を増やさない．

反転引き算はある桁の数から同じ桁，あるいは一つ小さい桁の数を引く操作です．そのため，反転引き算は桁数を増やしません．

４．反転引き算の結果は９の倍数である．

これは次のように証明できます．

証明： $n$ 桁の数の $n$ 桁目の数を $a_n$ と表す．

$| n - R (n) |$

$= \left| \sum_{k=1}^n \left( 10^{k-1} \cdot a_k - 10^{k-1} \cdot a_{n-k+1} \right) \right|$

$= \left| \sum_{k=1}^n \left( 10^{k-1} - 10^{n-k} \right) \cdot a_k \right|$

$= 9 \left| \sum_{l=1}^{ \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor } \left( a_{n+1-l} - a_l \right) \sum_{k=l}^{n-l} 10^{k-1} \right| \ \ldots (1)$

よって，反転引き算の結果は９の倍数である．

５．１桁，２桁および３桁の数は反転引き算をした結果を９で割ると回分数になる．

１桁の数は１回反転引き算をすると０に到達します．０は９で割っても０であり，０は回分数であるため，１桁の数については反転引き算をした結果を９で割ると回分数になることがわかります．

２桁の数については $(1)$ 式より， $| n - R (n) | = 9 (a_2 - a_1 )$ となるので，反転引き算をした結果を９で割ると１桁の数，すなわち回分数になるとわかります．

３桁の数については $(1)$ 式より， $| n - R (n) | = 99 (a_3 - a_1 )$ となるので，反転引き算をした結果を９で割ると１１以上９９以下の１１の倍数になり，これらはすべて回分数です．

６．４桁の数には反転引き算を繰り返しても０に到達しない数がある．

４桁の数には反転引き算を繰り返しても０に到達しない数が６３７個あります．これらの数は，すべて初項１０１２，公差１１の等差数列に含まれています．これらの数は，反転引き算を繰り返すと必ず１０８９，２１７８，３２６７，４３５６，６５３４，７６２３，８７１２，９８０１のいずれかに到達し，最終的に６５３４と２１７８をループします．ループへの入り方は，次のように分類できます．

（１）→２１７８→６５３４→２１７８→．．．

（２）→４３５６→２１７８→６５３４→２１７８→．．．

（３）→１０８９→４３５６→２１７８→６５３４→２１７８→．．．

（４）→７６２３→４３５６→２１７８→６５３４→２１７８→．．．

（５）→６５３４→２１７８→６５３４．．．

（６）→８７１２→６５３４→２１７８→６５３４．．．

（７）→３２６７→８７１２→６５３４→２１７８→６５３４．．．

（８）→９８０１→８７１２→６５３４→２１７８→６５３４．．．

反転引き算の特徴の紹介はここまでにします．反転引き算には，まだまだ未知のパターンが潜んでいる気がします．

付録：反転引き算を計算するマクロ（ＶＢＡ）

Sub reverse_sub()
Dim N() As Long
Dim M As Long
Dim R(10) As Long

'M以下の数の反転引き算を計算する
M = 10000

ReDim N(M, M)

For i = 1 To M
L = 1

i1 = i
Do
k = 0
i2 = i1
Do
k = k + 1
R(k) = (i2 Mod 10 ^ k) / (10 ^ (k - 1))
i2 = i2 - R(k) * 10 ^ (k - 1)
Loop Until i2 = 0
For k1 = 1 To k
i1 = i1 - R(k1) * 10 ^ (k - k1)
Next k1

N(i, L) = i1
L = L + 1
'40回ループしたら計算打切り
If L > 40 Then
N(i, L) = 0
GoTo 10
End If
'0になったら計算打切り
Loop Until i1 = 0

10

Next i

'セルに出力
For i = 1 To M
Cells(i, 1) = i
L = 0
Do
L = L + 1
Cells(i, 1 + L) = N(i, L)
Loop Until N(i, L) = 0
Next i
End Sub