頭の整理

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長さの異なるタイルの敷き詰め―１次元―

整数論 組合せ

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

下図のように長さが１０の枠がある．ここに長さが２，３，４，６のタイルを適当に敷く．ただし，タイルを敷かないところがあってもよい．また，タイルは何種類を何個ずつ使ってもよい．このとき，タイルの敷き方は何通りあるか．

 

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解答

枠の選び方は次の方程式を解くことで得られる．

{ \displaystyle 2v + 3w + 4x + 6y = 10 }

ここで， { \displaystyle v, w, x, y } はいずれも０以上の整数とする．

この方程式の解は次のようになる．

{ \displaystyle \left( v, w, x, y \right) = \left \{ \begin {array} {1} \left( 5, 0, 0, 0 \right) \\  \left( 3, 1, 0, 0 \right) \\ \left( 1, 2, 0, 0 \right) \\ \left( 2, 0, 2, 0 \right) \\ \left( 2, 0, 0, 1 \right) \\ \left( 0, 1, 2, 0 \right) \\ \left( 0, 1, 0, 1 \right) \end {array} \right. }

上に示した解のそれぞれについて，枠の並べ方と，枠にタイルを敷くか敷かないかを考えて，それらを合計したものが求めるタイルの敷き方の数である．よって，求めるタイルの敷き方の数を  { \displaystyle N } とすると，

{ \displaystyle N = \frac{5!}{5!} \times 2^5 + \frac{4!}{3!1!} \times 2^4 + \frac{3!}{1!2!} \times 2^3 + \frac{4!}{2!2!} \times 2^4 }

          { \displaystyle + \frac{3!}{2!1!} \times 2^3 + \frac{3!}{1!2!} \times 2^3 + \frac{2!}{1!1!} \times 2^2 }

          { \displaystyle = 32+64+24+96+24+24+8 }

          { \displaystyle = 272 }

 

 

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