２つの関数を交点で結ぶ関数

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上図のように交点 $c$ を持つ２つの関数 $y = f \left( x \right)$ と $y = g \left( x \right)$ があります．これら２つの関数を交点で連結した次の関数があります．

$y = h(x) = \left \{ \begin {array} {1} f \left( x \right) \ \ \ \left( x \leq c \right) \\ g \left( x \right) \ \ \ \left( x \gt c \right) \end {array} \right.$

ここで， $h\left( x \right)$ を場合分けをせずに表す方法を考えてみると，例えば次のような方法があります．

$h\left( x \right) = I \left( x \right) \cdot f \left( x \right) + J \left( x \right) \cdot g \left( x \right)$

${ \displaystyle I \left( x \right) = \left \{ \begin {array} {1} 1 \ \ \ \left( x \lt c \right) \\ \frac{1}{2} \ \ \ \left( x = c \right) \\ 0 \ \ \ \left( x \gt c \right) \end {array} \right. }$

$J \left( x \right) = \left \{ \begin {array} {1} 0 \ \ \ \left( x \lt c \right) \\ \frac{1}{2} \ \ \ \left( x = c \right) \\ 1 \ \ \ \left( x \gt c \right) \end {array} \right.$

$J \left( x \right)$ はヘヴィサイドの階段関数の段を上る位置を $x=c$ とし， $x=c$ における関数値を $\frac{1}{2}$ としたものです． $I \left( x \right)$ は $J \left( x \right)$ を $y= \frac{1}{2}$ を軸にとって上下反転した関数です．ヘヴィサイドの階段関数自身が場合分けを含むので，このままでは目的の表記になっていません．そこで，ヘヴィサイドの階段関数はS字型曲線のカーブを無限に急にしたものだと考えると，例えば，シグモイド関数を用いた次のような極限表示ができます．

$h\left( x \right) = \lim_{a \to \infty} \left \{ \frac{f \left( x \right)}{1 + e ^{a \left( x - c \right)}} + \frac{g \left( x \right)}{1 + e ^{-a \left( x - c \right)}} \right \}$

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上の図は $f \left( x \right) = -10 \left( x + 2 \right)^2$ ， $g \left( x \right) = -10 \left( x - 2 \right)^2$ として， $h\left( x \right)$ を $a$ の値を変えてプロットしたものです． $a$ の値が大きくなるほど曲線の形が２つの放物線を $x=0$ で連結したものに近づいています．