2020-12-30

(ln x)/x^(k+1) の積分

積分微分

問題です。解答は下部に載せました。

問題

１． $f \left( x \right) = - \frac{k \ln x + 1}{k^2 x^k} \ \ \ \left( k \neq 0 \right)$ とするとき、 $\frac{d f \left( x \right)}{dx}$ を求めよ。

２． $g \left( x \right) = \frac{\left ( \ln x \right) ^2}{2}$ とするとき、 $\frac{d g \left( x \right)}{dx}$ を求めよ。

３． $k \neq 0$ のとき、 $\int \frac{\ln x}{x^{k+1}} dx$ を求めよ。

４． $\int \frac{\ln x}{x} dx$ を求めよ。

解答

１．

$\frac{d f \left( x \right)}{dx} = \frac{- k^3 x^{k-1} + \left( k \ln x + 1 \right) k^3 x^{k-1}}{k^4 x^{2k}}$

$= \frac{k^4 x^{k-1} \ln x}{k^4 x^{2k}}$

$= \frac{\ln x}{x^{k + 1}}$

２．

$\frac{d g \left( x \right)}{dx} = \frac{2 \ln x}{2} \cdot \frac{1}{x}$

$= \frac{\ln x}{x}$

３．

１の結果より、 $C_1$ を積分定数とすると、

$\int \frac{\ln x}{x^{k+1}} dx = - \frac{k \ln x + 1}{k^2 x^k} + C_1$

４．

２の結果より、 $C_2$ を積分定数とすると、

$\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{\left ( \ln x \right) ^2}{2} + C_2$

1冊でマスター大学の微分積分

作者:石井俊全
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2020-12-14

0から1までの x^k lnx の定積分

積分

問題です。解答は下部に載せました。

問題：

定積分 $\int_0^1 x^k \ln x \ dx$ を求めよ。ただし、 $k \geq 0$ とする。

解答：

$\int_0^1 x^k \ln x \ dx$

$= \int_0^1 \left( \frac{x^{k + 1}}{k + 1} \right) ' \ln x \ dx$

$= \left [ \frac{x^{k + 1}}{k + 1} \ln x \right ] _0^1 - \int_0^1 \frac{x^k}{k + 1} \ dx$

$= - \int_0^1 \frac{x^k}{k + 1} \ dx$

$= - \frac{1}{k + 1} \left [ \frac{x^{k + 1}}{k + 1} \right ] _0^1$

$= - \frac{1}{ \left( k + 1 \right) ^2}$

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2020-10-14

斜面を滑る物体を用いた重力加速度の測定

力学

問題です．解答は下部に載せました．

問題

下図のように，小物体が点 $P$ から点 $Q$ までの長さ $l$ ，傾斜 $\theta$ の斜面を滑り落ちたとする．また，小物体が点 $P$ から点 $Q$ に到達するまでに時間 $T$ を要したとする．このとき，重力加速度 $g$ の値を $l, \theta , T$ を用いて表せ．なお，斜面の摩擦，および空気抵抗は無視できるものとする．

f:id:todayf0rmu1a:20201014151530p:plain

解答

力学的エネルギー保存則から，次式が成り立つ．

$2 gl \sin \theta = \left( \int_0^T \frac{dv}{dt} dt \right)^2 \ \ldots \left( 1 \right)$

ここで， $v$ は斜面方向の速度， $t$ は時間である．

また，斜面方向の加速度について，次式が成り立つ．

${ \displaystyle \frac{dv}{dt} = g \sin \theta \ \ldots \left( 2 \right) }$

$\left( 2 \right)$ 式を $\left( 1 \right)$ 式に代入して，

$2 gl \sin \theta = \left( \int_0^T g \sin \theta dt \right)^2 = g^2 T^2 \sin ^2 \theta$

$\therefore g = \frac{2l}{T^2 \sin \theta}$

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2020-09-13

iTunesの映画にある一覧の画像の消し方（バージョン12.10.8.5）

その他

iTunesにiPhoneをつなぐと，デバイス上（iPhone上）の映画の欄に同期する動画の一覧（ファイル名＋サムネイル＋チェックボックス）が表示される．この一覧から動画を削除したくても，この画面からは削除できない．

この問題についてネットを検索すると，iTunes側（パソコン本体側）のライブラリから映画を探して削除という話をよくみかける．しかし，ライブラリを見ても映画の項目がないことがある．そこで，ライブラリの右横にマウスカーソルを持っていくと現れる編集ボタンを押して，映画の項目をライブラリに追加するという方法もよくみかける．しかし，追加できる項目の中に映画がないことがある．

そこで，自分が最終的に解決した方法は，ライブラリの右上にあるミュージック∧∨というボタンを押してムービーという項目を選ぶことである．これをすると，ライブラリに映画とかジャンルとかいう項目が現れ，映画をクリックすると先ほどデバイス上の映画の欄に表示されていた一覧と同じ画像が表示されている．ここで，動画をライブラリから削除することができ，削除した後にデバイス上の映画の欄を見ると一覧から削除した動画が消えていることが確認できた．

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2020-08-11

２の冪乗をL字型に繰り返し並べた配置の斜め方向の和

数列

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

下図のように，２の冪乗をL字型に繰り返し並べた配置の斜め方向の和 $S \left( n \right)$ を考える．下図から， $S \left( 1 \right) = 1$ ， $S \left( 2 \right) = 4$ ， $S \left( 3 \right) = 9$ ， $S \left( 4 \right) = 20$ ， $S \left( 5 \right) = 41$ ， $S \left( 6 \right) = 84$ であることがわかる．ここで， $S \left( 0 \right) = 0$ として，次の問いに答えよ．

１． $S \left( n \right)$ を $S \left( n - 2 \right)$ を用いて表せ．

２． $S \left( n \right)$ の一般項を求めよ．

f:id:todayf0rmu1a:20200811153900p:plain

解答

１． $S \left( n \right) = S \left( n - 2\right) + 2^n$

２． $S \left( n \right) = \frac{2^{n+2}}{3} + \frac{\left( -1 \right) ^n}{6} - \frac{3}{2}$

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2020-06-27

n進法と自然数の分割

整数論

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

$n$ を $2$ 以上の自然数， $m$ を自然数とする． $n^m$ より小さい自然数は

$n^0 , n^1 , \ldots n^{m-1}$ から同じ数を $n$ 回以上選ばないようにして，適当に選んで足し合わせれば作ることができることを示せ．

解答

$n$ 進法における各桁の位は一桁目から順に $n^0 , n^1 , \ldots$ となっている．そして，各桁には最大で $n - 1$ 個の位の数が入る．

$n^m$ より小さい自然数は， $n$ 進法においては $m$ 桁以下で作ることができる．これは， $n^m$ より小さい自然数は， $n^0 , n^1 , \ldots n^{m-1}$ から同じ数を $n$ 回以上選ばないようにして，適当に選んで足し合わせれば作ることができるということと同値である．

情報処理の基礎問題集　～2進数の世界～

作者:大嶌　彰昇
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メディア: Kindle版

2020-06-23

三角形の中の扇形

平面図形極限

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

三角形 $ABC$ があり， $AB = a$ ， $AC = b \ \ \ \left(a \lt b \right)$ ，角 $BAC = \theta$ とする．頂点 $A$ を中心に半径 $a$ の円 $C$ を描き， $C$ と辺 $AC$ の交点を $M$ とする．中心角 $\theta$ の扇形 $BM$ の面積を $S$ とし，三角形 $ABC$ からこの扇形を取り除いた部分の面積を $T$ とする．このとき， $\lim_{ \theta \to 0 } \frac{T}{S}$ を求めよ．