頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

(ln x)/x^(k+1) の積分

積分 微分

問題です。解答は下部に載せました。

 

問題

１． { \displaystyle f \left( x \right) = - \frac{k \ln x + 1}{k^2 x^k} \ \ \ \left( k \neq 0 \right) } とするとき、 { \displaystyle \frac{d f \left( x \right)}{dx} } を求めよ。

２． { \displaystyle g \left( x \right) = \frac{\left ( \ln x \right) ^2}{2} } とするとき、 { \displaystyle \frac{d g \left( x \right)}{dx} } を求めよ。

３． { \displaystyle k \neq 0 } のとき、 { \displaystyle \int \frac{\ln x}{x^{k+1}} dx } を求めよ。

４． { \displaystyle \int \frac{\ln x}{x} dx } を求めよ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

１．

{ \displaystyle \frac{d f \left( x \right)}{dx} = \frac{- k^3 x^{k-1} + \left( k \ln x + 1 \right) k^3 x^{k-1}}{k^4 x^{2k}}}

              { \displaystyle = \frac{k^4 x^{k-1} \ln x}{k^4 x^{2k}} }

              { \displaystyle = \frac{\ln x}{x^{k + 1}} }

２．

{ \displaystyle \frac{d g \left( x \right)}{dx} = \frac{2 \ln x}{2} \cdot \frac{1}{x}}

              { \displaystyle = \frac{\ln x}{x} }

３．

１の結果より、 { \displaystyle C_1 } を積分定数とすると、

{ \displaystyle \int \frac{\ln x}{x^{k+1}} dx = - \frac{k \ln x + 1}{k^2 x^k} + C_1 }

４．

２の結果より、 { \displaystyle C_2 } を積分定数とすると、

{ \displaystyle \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{\left ( \ln x \right) ^2}{2} + C_2}

 

 

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