頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

三角形の中の扇形

平面図形 極限

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

三角形 { \displaystyle ABC } があり， { \displaystyle AB = a } ， { \displaystyle AC = b \ \ \ \left(a \lt b \right) } ，角  { \displaystyle BAC = \theta } とする． 頂点  { \displaystyle A } を中心に半径  { \displaystyle a } の円 { \displaystyle C } を描き， { \displaystyle C } と辺 { \displaystyle AC } の交点を  { \displaystyle M } とする．中心角 { \displaystyle \theta } の扇形  { \displaystyle BM } の面積を  { \displaystyle S } とし， 三角形 { \displaystyle ABC } からこの扇形を取り除いた部分の面積を  { \displaystyle T } とする．このとき， { \displaystyle \lim_{ \theta \to 0 } \frac{T}{S} } を求めよ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

{ \displaystyle S = \frac{1}{2} a^2 \theta }

{ \displaystyle T = \frac{1}{2} a \left( b \sin \theta - a \theta \right) }

{ \displaystyle \frac{T}{S} = \frac{b}{a} \cdot \frac{\sin \theta}{ \theta} - 1 }

{ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0 } \frac{T}{S} = \frac{b}{a} - 1 }

 

 

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