0 から π/2 までの x/tan(x) の定積分のようなもの

$\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{x}{\tan x} dx$

$= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } x \cdot \left \{ \ln \left( \sin x \right) \right \} ' dx$

$= \left [ x \ln \left( \sin x \right) \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \ln \left( \sin x \right) dx$

ここで，上式の第１項において，積分区間の下端０において ${ \displaystyle x \ln \left( \sin x \right) }$ の関数値は不定であるため，これより先は計算できない気がします．

ただ，ロピタルの定理を用いて，次の極限値は求めることができます．

$\lim _{x \to +0} x \ln \left( \sin x \right)$

$= \lim _{x \to +0} \frac{\ln \left( \sin x \right)}{x^{-1}}$

$= \lim _{x \to +0} - \frac{x^2}{\tan x}$

$= \lim _{x \to +0} - 2x \cos {^2 x}$

$= 0$

この極限値を関数値の代わりに用いてもよいとすれば，先ほどの定積分を次のように求めることができます．

$\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{x}{\tan x} dx = - \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \ln \left( \sin x \right) dx = \frac{\pi}{2} \ln 2$

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