いつあきらめるか

問題です．解答は下部に載せました．

問題

異なる実数をランダムに $n$ 個とったとする．このとき，次の問いに答えよ．

１． $n$ 個に加えて，もう一つ異なる実数 $x$ をとる場合， $x$ がとった実数の中で最大の実数となる確率 $p$ を求めよ．

２． $n$ 個に加えて，もう $m$ 個異なる実数をとる場合，あとにとった $m$ 個の中に，とった実数の中で最大の実数が含まれる確率 $q$ を求めよ．

解答

１． $n$ 個の実数を横一列に並べると， $x$ はこの列の両端か，それぞれの実数の間に来るので，そのパターンは $n + 1$ 通り．よって，

$p = \frac{1}{n + 1}$

２．あとに取った $m$ 個の中に，とった実数の中で最大の実数が含まれない確率 $r$ を考えると，

$r = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n+2} \cdot \ldots \cdot \frac{n+m-1}{n+m} = \frac{n}{n+m}$

よって，余事象の確率より，

$q = 1-r = 1 - \frac{n}{n+m} = \frac{m}{n+m}$

頭の整理