桂馬飛び - 頭の整理

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

格子点上の点 $P \left( x , y \right)$ を次の規則に従って動かせる．

規則：点 $P \left( x , y \right)$ は $\left( x + 2, y + 1 \right)$ ， ${ \displaystyle \left( x + 2, y - 1 \right) }$ ， ${ \displaystyle \left( x - 2, y + 1 \right) }$ ， ${ \displaystyle \left( x - 2, y - 1 \right) }$ ， ${ \displaystyle \left( x + 1, y + 2 \right) }$ ， ${ \displaystyle \left( x - 1, y + 2 \right) }$ ， ${ \displaystyle \left( x + 1, y - 2 \right) }$ ， ${ \displaystyle \left( x - 1, y - 2 \right) }$ のいずれかに動かせる．

このとき，次の問いに答えよ．

１．始めに点 $P$ は $\left( 0 , 0 \right)$ にあるとする．このとき， $0 \leq x \leq 3 \ , 0 \leq y \leq 2$ 上にあるすべての格子点に点 $P$ が到達する方法を一つ示せ．ただし，点 $P$ は $0 \leq x \leq 3 \ , 0 \leq y \leq 2$ 上にある格子点以外には動いてはいけないものとする．

２．点 $P$ は座標平面上のすべての格子点に到達できることを示せ．

解答

１．次の順番で点 $P$ を動かせばよい．

$\left( 0 , 0 \right) \to \left( 2 , 1 \right) \to \left( 0 , 2 \right) \to \left( 1 , 0 \right) \to \left( 2 , 2 \right) \to \left( 3 , 0 \right) \to \left( 1 , 1 \right) \to \left( 3 , 2 \right)$

$\to \left( 2 , 0 \right) \to \left( 0 , 1 \right) \to \left( 2 , 0 \right) \to \left( 1 , 2 \right) \to \left( 3 , 1 \right)$

２．点 $P \left( x_0 , y_0 \right)$ を左下の角にして，１で示したように ${ \displaystyle x_0 \leq x \leq x_0 + 3 \ , y_0 \leq y \leq y_0 + 2 }$ 上にあるすべての格子点に点 $P$ は到達できる．この長方形上の格子点の四隅から，同様の方法により到達可能な格子点の領域はいくらでも広げることができる．よって，点 $P$ は座標平面上のすべての格子点に到達できる．

3月のライオン[前編]

発売日: 2017/09/27
メディア: Prime Video