問題です。解答は下部に載せました。
問題：Fig 1のように、水平面に線密度 
、半径 
の半円弧が置かれている。半円弧が静止しているときに、水平面と接している点を 
、半円弧の中心を 
、半円弧の重心を 
とする。この半円弧を、Fig 2のように傾けたときに、水平面との接点を 
とし、
とする。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、重力加速度を 
とする。
（１）Fig 1の状態における点 を原点 
にとり、重心 の座標を 、
を用いて表せ。
（２）半円弧をFig 2のように傾け、
となった状態から半円弧を手放す場合、
の時間変化の二乗、すなわち、
を 、 、 、
を用いて表せ。
解答：
（１）まず、静止状態における重心 の座標を求める。半円弧は 
軸対称であるから、 は 軸上にある。そこで、
とおく。Fig 3のように、微小片 
をとり、重心 における 
軸方向の力のモーメントの釣り合いを考えると、
次に、Fig 2のように半円弧を傾けた場合、
である。重心 から線分 
に垂線 
を下ろし、三角形 
に着目すると、
となることがわかる。
（２）半円弧を となるように傾けたときの重心 の位置エネルギーを 
とおくと、
ただし、
とおいた。
また、重心 の速さの二乗を 
とすれば、
である。よって、力学的エネルギー保存則より、
おまけ：下の図は、
、
、
として、 の時間変化を数値計算により求めた結果です。
