頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

en! について

極限級数整数論

問題です。解答は下部に載せました。

問題： $e$ を自然対数の底とする。 $n$ が十分に大きく、

$\sum _{k = n+1} ^{\infty} \left( \prod _{j=n+1} ^{k} \frac{1}{j} \right) \approx 0$

と近似できるとき、 $en!$ は $3$ の倍数でない自然数で近似できることを示せ。

解答：

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{\left(n - 2 \right)!} + \frac{1}{\left(n - 1 \right)!} + \frac{1}{n!} + \frac{1}{\left(n + 1 \right)! } + \cdots$

と表されるから、

$en! = n! + n! + \frac{n!}{2!} + \cdots + n\left( n - 1 \right) + n + 1 + \frac{1}{n + 1} + \cdots$

となる。条件より、

$en! \approx n! + n! + \frac{n!}{2!} + \cdots + n\left( n - 1 \right) + n + 1$

と近似できる。 $m$ を自然数として、次の３つの場合を考える。

$\left( 1 \right)$ $n = 3m$ のとき

$N$ を自然数として、

$n! + n! + \frac{n!}{2!} + \cdots + n\left( n - 1 \right) + n = 3N$

と表されるから、

$en! \approx 3N + 1$

となる。

$\left( 2 \right)$ $n = 3m + 1$ のとき

$N$ を自然数として、

$n! + n! + \frac{n!}{2!} + \cdots + n\left( n - 1 \right) = 3N$

と表されるから、

$en! \approx 3N + 3m + 2$

となる。

$\left( 3 \right)$ $n = 3m + 2$ のとき

$N$ を自然数として、

$n! + n! + \frac{n!}{2!} + \cdots + n\left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right) = 3N$

と表されるから、

$en! \approx 3N + \left( 3m + 2 \right) \left( 3m + 1 \right) + \left( 3m + 2 \right) + 1$

$= 3N + 9m^2 + 12m + 3 + 2$

となる。

πとeの話―数の不思議

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作者:Y.E.O.エイドリアン
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