垂直二等分線の数列

数列の自作問題です．解答は下部に載せてあります．

問題

座標平面において， 軸上に点 を， 軸上に点 をそれぞれとる．ただし， ， はともに でない実数値とする．線分 の垂直二等分線 を引き， と 軸および 軸との交点をそれぞれ ， とする．以後同様に，線分 の垂直二等分線 を引き， と 軸および 軸との交点をそれぞれ ， とする．このとき，以下の問に答えよ．

１． を と の式で表せ．また， を と の式で表せ．

２． と をそれぞれ の式で表せ．

３． ， をそれぞれ求めよ．

解答

１． は線分 の中点を通り，線分 に垂直な直線である．よって， の方程式は次式で表される．

と 軸との交点が であるから， に ， を代入して，

また， と 軸との交点が であるから， に ， を代入して，

２． より次式を得る．

ここで，

と推測する． が成り立つことを数学的帰納法で証明する．

（Ｉ） のとき

よって， は成り立つ．

（ＩＩ） のとき， が成り立つと仮定すると，

のとき， が成り立つかどうか調べる．

　　   

　　   

よって， のときも は成り立つ．

（Ｉ），（ＩＩ）より，すべての自然数 について は成り立つ．

より，

　 

　 

ここで， が偶数のとき，

であり， が奇数のとき，

であるから， より次式が成り立つ．

式を変形して，次式を得る．

を隣接３項間の漸化式とみると，次の２式を得る．

ここで， は虚数単位である．

より，数列 は，初項 ，公比 の等比数列であるから，

同様に より，数列 は，初項 ，公比 の等比数列であるから，

より，

ここで， より，

であるから， を  に代入して，

であるから， ， より，

３． ， ともに数列の収束に関わるのは次の部分である．

よって，

のとき， ， はいずれも振動する．

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