問題です。解答は下部に載せました。
問題
空中のある一点につながれた長さ の糸の先に、質量 の小球がつながれている。この小球は、糸のつながれた空中の一点を中心に円運動をしている。このとき、小球が最高点に到達したときに、円運動を続けるために必要な速さ の最小値を求めよ。また、そのときの小球の最下点での速さを求めよ。さらに、そのときの周期 および回転数 とそれらの近似値を求めよ。ただし、重力加速度を 、糸の張力を とする。また、空気抵抗、糸の質量および小球の大きさは無視できるとする。また、必要であれば、
を用いてよい。
解答
小球が最高点に来た時の力の釣り合いを考えると、
小球が円運動を続けるためには、張力 が正の値を取る必要があるから、
よって、小球が最高点に到達したときに、円運動を続けるために必要な速さ の最小値は である。
次に、小球が最高点に到達したときの速さが のときに、小球が最下点に来たときの速さ について考える。力学的エネルギー保存則より、
続いて、周期 を求めるために、小球が最下点から最高点に到達するまでの過程を考える。下図のように、小球が最下点から ラジアンだけ回転したとき、小球の速さを とすれば、力学的エネルギー保存則を考えると、
よって、周期 は、
また、回転数 は、