頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

重力下において棒を鉛直方向に回転させたときになされる仕事

力学

問題です。解答は下部に載せました。

 

問題

密度 { \displaystyle \rho } 、長さ { \displaystyle r } 、断面積  { \displaystyle A } の棒がある。この棒を、床に対して鉛直な方向から { \displaystyle \theta } だけ回転させたときになされる仕事  { \displaystyle W } と、 { \displaystyle \frac{dW}{d \theta} } を求めよ。ただし、重力加速度を  { \displaystyle g } とし、 { \displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi } とする。

 

f:id:todayf0rmu1a:20210124135644p:plain

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

{ \displaystyle W = \lim _{n \to \infty } \frac{\rho g A r}{n} \sum _{k = 1} ^{n} \frac{ r \left( \left( k - 1 \right) + k \right) }{2n} \cdot  \left( 1 - \cos \theta \right) }

      { \displaystyle = \rho g A r^2 \cdot \lim _{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum _{k = 1} ^{n} \left( \frac{k}{n} - \frac{1}{2n} \right) \left( 1 - \cos \theta \right) }

      { \displaystyle = \rho g A r^2 \cdot \lim _{n \to \infty } \frac{1}{n} \cdot \left( - \frac{1}{2} + \sum _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n} \right) \left( 1 - \cos \theta \right) }

      { \displaystyle = \rho g A r^2 \cdot \left( \int _0 ^1 u \ du \right) \left( 1 - \cos \theta \right) }

      { \displaystyle = \frac{\rho g A r^2 }{2} \cdot \left( 1 - \cos \theta \right) }

 

{ \displaystyle \frac{dW}{d \theta} = \frac{\rho g A r^2 }{2} \sin \theta }

 

 

力学 (物理入門コース 新装版)

力学 (物理入門コース 新装版)

 
「Amazon.co.jpアソシエイト」