頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

中線の渦巻き

平面図形 数列

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

三角形 { \displaystyle ABC } において頂点 { \displaystyle A } から辺 { \displaystyle BC } の中点 { \displaystyle M_1 } に向けて中線  { \displaystyle l_1 } を引く．続いて， { \displaystyle M_1 } から辺  { \displaystyle AC } の中点  { \displaystyle M_2 } に向けて中線  { \displaystyle l_2 } を引く．続いて， { \displaystyle M_2 } から  { \displaystyle l_1 } の中点  { \displaystyle M_3 } に向けて中線  { \displaystyle l_3 } を引く．以後， { \displaystyle M_n } から  { \displaystyle l_{n-1} } の中点  { \displaystyle M_{n+1} } に向けて中線  { \displaystyle l_{n+1} } を引くことを繰り返す．辺  { \displaystyle BC } の長さを  { \displaystyle a } ，辺  { \displaystyle CA } の長さを  { \displaystyle b } ，辺  { \displaystyle AB } の長さを  { \displaystyle c } とするとき，中線  { \displaystyle l_n } の長さを求めよ．

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解答

三角形 { \displaystyle ABC } において中線定理より次式が成り立つ．

{ \displaystyle c^2 + b^2 = 2 \left( \frac{a^2}{4} + l_1 ^2 \right) \ \ \ \ldots(1) }

{ \displaystyle (1) } 式より次式が成り立つ．

{ \displaystyle l_1 = \sqrt{\frac{c^2 + b^2}{2} - \frac{a^2}{4}} \ \ \ \ldots(1)' }

三角形 { \displaystyle ABC } において中点連結定理より次式が成り立つ．

{ \displaystyle l_2 = \frac{c}{2} \ \ \ \ldots(2) }

三角形 { \displaystyle A M_1 C } において中点連結定理より次式が成り立つ．

{ \displaystyle l_3 = \frac{a}{4} \ \ \ \ldots(3) }

三角形 { \displaystyle A M_1 M_2 } において中点連結定理より次式が成り立つ．

{ \displaystyle l_4 = \frac{b}{4} \ \ \ \ldots(4) }

三角形 { \displaystyle M_1 M_2 M_3 } において中点連結定理より次式が成り立つ．

{ \displaystyle l_5 = \frac{l_1}{4} \ \ \ \ldots(5) }

以後，三角形 { \displaystyle M_{n-4} M_{n-3} M_{n-2} } において中点連結定理より次式が成り立つ．

{ \displaystyle l_n = \frac{l_{n-4}}{4} \ \ \ \ldots(6) }

よって， { \displaystyle l_n } は次の４つの式で表される．

{ \displaystyle l_{4n-3} = \left( \sqrt{\frac{c^2 + b^2}{2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} \ \ \ \ldots(7) }

{ \displaystyle l_{4n-2} = \left( \frac{c}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} \ \ \ \ldots(8) }

{ \displaystyle l_{4n-1} = \left( \frac{a}{4} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} \ \ \ \ldots(9) }

{ \displaystyle l_{4n} = \left( \frac{b}{4} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} \ \ \ \ldots(10) }

 

 

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