頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

漸化式 a_(n+1)=a_n/2+p/a_n

数列

風変わりな数列の漸化式を紹介します．

{\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} \ \ldots (1) }

 

{\displaystyle (1) } は， {\displaystyle p ＞ 0, a_n ＞ \sqrt{2p} \ ＞ 0 } という制限付きであれば，以下のように解くことができます．

まず， {\displaystyle (1) } から次の２つの式を導出します．

{\displaystyle a_{n+1} - \sqrt{2p} = \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} - \sqrt{2p} \ \ldots (2) }

 

{\displaystyle a_{n+1} + \sqrt{2p} = \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} + \sqrt{2p} \ \ldots (3) }

 

{\displaystyle (3) } の左辺と右辺が等しいことに着目して， {\displaystyle (2) } の左辺と右辺を {\displaystyle (3) } の左辺と右辺でそれぞれ割り，次式を得ます．

{\displaystyle \frac{a_{n+1} - \sqrt{2p}}{a_{n+1} + \sqrt{2p}} = \frac{ \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} - \sqrt{2p}}{ \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} + \sqrt{2p} } \ldots (4) }

 

{\displaystyle (4) } の右辺の分母分子に {\displaystyle 2a_n } をかけて整理すると次式を得ます．

{\displaystyle \frac{a_{n+1} - \sqrt{2p}}{a_{n+1} + \sqrt{2p}} = \left( \frac{a_n - \sqrt{2p}}{a_n + \sqrt{2p}} \right)^2 \ \ldots (5) }

 

ここで， {\displaystyle b_n = \frac{a_n - \sqrt{2p}}{a_n + \sqrt{2p}} } とおくと， {\displaystyle (5) } は次式になります．

 

{\displaystyle b_{n+1} = b_n^2 \ \ldots (6) }

 

{\displaystyle (6) } の両辺の自然対数をとると，次式を得ます．

{\displaystyle \ln{b_{n+1}} = 2 \ln{b_n} \ \ldots (7) }

 

ここで， {\displaystyle c_n = \ln{b_n} } とおくと， {\displaystyle (7) } は次式となります．

{\displaystyle c_{n+1} = 2c_n \ \ldots (8) }

 

{\displaystyle (8) } より， {\displaystyle c_n } は公比２の等比数列であるとわかります．そこで，初項を {\displaystyle c_1 } とすると，次式が成り立ちます．

{\displaystyle c_n = c_1 \cdot 2^{n-1} \ \ldots (9) }

{\displaystyle c_1 = \ln{b_1} = \ln{ \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}}} \ \ldots (10) }

 

{\displaystyle (9), (10) } を {\displaystyle c_n = \ln{b_n} } に代入すると，

{\displaystyle 2^{n-1} \ln{ \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} } = \ln{b_n} }

{\displaystyle b_n = \left( \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} \right) ^{2^{n-1}} \ \ldots (11) }

 

{\displaystyle (11) } を {\displaystyle b_n = \frac{a_n - \sqrt{2p}}{a_n + \sqrt{2p}} } に代入すると， {\displaystyle a_n } が求まります．

 

{\displaystyle a_n = - \frac{\left( \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} \right) ^{2^{n-1}} +1}{ \left( \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} \right) ^{2^{n-1}} -1 } \sqrt{2p} }

 

 

 

チャート式基礎からの数学B

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