三角形の内角のみを用いた余弦定理の表示

余弦定理は，三角形 $\rm ABC$ について成り立つ次の等式です．

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos \theta_1$

$b^2=c^2+a^2-2ca \cos \theta_2$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos \theta_3$

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上の3つの等式はいずれも三角形の3辺の長さと，一つの内角を用いて表されています．今回は，これらの等式を三角形の3つの内角を用いた表示に変形します．

まず，三角形 $\rm ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると，正弦定理より次の等式が成り立ちます．

$\frac{a}{\sin \theta_1} = \frac{b}{\sin \theta_2} = \frac{c}{\sin \theta_3} = 2R$

上の式を変形すると， $a,b,c$ はそれぞれ次のように表せます．

$a=2R \sin \theta_1$

$b=2R \sin \theta_2$

$c=2R \sin \theta_3$

これらを，この記事の冒頭に示した余弦定理を表す等式に代入すると，三角形の内角のみを用いた余弦定理の表示が得られます．

$\sin ^2 \theta_1 = \sin ^2 \theta_2 + \sin ^2 \theta_3 -2 \sin \theta_2 \sin \theta_3 \cos \theta_1$

$\sin ^2 \theta_2 = \sin ^2 \theta_3 + \sin ^2 \theta_1 -2 \sin \theta_3 \sin \theta_1 \cos \theta_2$

$\sin ^2 \theta_3 = \sin ^2 \theta_1 + \sin ^2 \theta_2 -2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \theta_3$

また，上の3つの式をそれぞれ変形すると， $\cos \theta_1 , \cos \theta_2 , \cos \theta_3$ を次のように表せます．

$\cos \theta_1 = \frac{\sin ^2 \theta_2 + \sin ^2 \theta_3 - \sin ^2 \theta_1}{2 \sin \theta_2 \sin \theta_3}$

$\cos \theta_2 = \frac{\sin ^2 \theta_3 + \sin ^2 \theta_1 - \sin ^2 \theta_2}{2 \sin \theta_3 \sin \theta_1}$

$\cos \theta_3 = \frac{\sin ^2 \theta_1 + \sin ^2 \theta_2 - \sin ^2 \theta_3}{2 \sin \theta_1 \sin \theta_2}$

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