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一様な棒を用いた質量の測定

力学

センター試験２０２０物理、第１問、問１の改題です。解答は下部に載せました。

 

問題：長さが { \displaystyle L } の一様な棒の左端に質量  { \displaystyle M } の物体をつるし、棒の右端から長さ  { \displaystyle x } だけ離れた点 { \displaystyle O } で棒をつるすと水平に静止した。棒の断面積を  { \displaystyle A } 、密度を { \displaystyle \rho } として、物体の質量  { \displaystyle M } を  { \displaystyle L } 、 { \displaystyle x } 、 { \displaystyle A } 、 { \displaystyle \rho } を用いて表せ。

 

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解答：

重力加速度を { \displaystyle g } として、点 { \displaystyle O } を中心とした力のモーメントの釣り合いを考えると、

{ \displaystyle \frac{L - x}{2} \cdot \left( L - x \right) \rho A g + \left( L - x \right) Mg = \frac{x}{2} \cdot x \rho A g }

{ \displaystyle \frac{\rho A}{2} \left( L - x \right) ^2 + \left( L - x \right) M = \frac{\rho A}{2} x^2 }

{ \displaystyle \frac{\rho A}{2} \left( L - x \right) + M = \frac{\rho A}{2} \frac{x^2}{L - x} }

{ \displaystyle \therefore M = \frac{\rho A}{2} \left( \frac{x^2}{L - x} - L + x \right) = \frac{\rho A}{2} \left( \frac{ L \left( 2x - L \right) }{L - x} \right) }

 

余談：

解答の２番目の式より、

{ \displaystyle \frac{\rho A}{2} \left( L^2 - 2Lx \right) + \left( L - x \right) M = 0 }

{ \displaystyle \left( \rho A L + M \right) x = \frac{\rho A L^2}{2} + LM = \frac{ L \left( \rho A L + 2M \right) }{2} }

{ \displaystyle \therefore x = \frac{ L \left( \rho A L + 2M \right) }{2 \left( \rho A L + M \right) } }

 

アーテック てこの実験 94881

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