頭の整理

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板を一定の幅だけずらして平積みする問題

力学

問題です。解答は下部に載せました。

 

問題：下図のように、長さ { \displaystyle L } の一様な板を一定の幅  { \displaystyle w } だけずらしながら平積みしていく。このとき、板は崩さずに最大で何枚積むことができるか。

 

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解答：

一番下の板の右上端を点 { \displaystyle O } とし、点 { \displaystyle O } を中心とした力のモーメントの釣り合いを考える。なお、板の断面積を  { \displaystyle A } 、密度を  { \displaystyle \rho } とする。

板を { \displaystyle n } 枚積んだとき、点 { \displaystyle O } の左側にかかる力のモーメントを { \displaystyle I } とすると、

{ \displaystyle I = \sum_{k=1}^{n - 1} \frac{L - kw}{2} \cdot \rho A \left( L -kw \right) }

    { \displaystyle = \frac{\rho A}{2} \sum_{k=1}^{n - 1}  \left( L^2 -2Lkw + k^2w^2 \right) }

また、板を { \displaystyle n } 枚積んだとき、点 { \displaystyle O } の右側にかかる力のモーメントを { \displaystyle J } とすると、

{ \displaystyle J = \sum_{k=1}^{n - 1} \frac{kw}{2} \cdot \rho A kw = \frac{\rho A}{2} \sum_{k=1}^{n - 1}  k^2w^2 }

板を崩さずに積むためには、 { \displaystyle I \geq J } である必要があるから、

{ \displaystyle \frac{\rho A}{2} \sum_{k=1}^{n - 1}  \left( L^2 -2Lkw + k^2w^2 \right) \geq \frac{\rho A}{2} \sum_{k=1}^{n - 1}  k^2w^2 }

{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n - 1}  \left( L -2kw \right) \geq 0 }

{ \displaystyle \left( n - 1 \right) L - w \left( n - 1 \right) n \geq 0 }

{ \displaystyle L - wn \geq 0 }

{ \displaystyle n \leq \frac{L}{w} }

よって、 { \displaystyle m } を  { \displaystyle \frac{L}{w} } を超えない最大の整数とすれば、板は最大で  { \displaystyle m } 枚積むことができる。

 

余談：板を { \displaystyle n = \frac{L}{w} } 枚積んだときに、点 { \displaystyle O } より右側にはみ出した部分の長さを { \displaystyle H } とすると、

{ \displaystyle H = \left( \frac{L}{w} - 1 \right) \cdot w = L - w }

よって、

{ \displaystyle \lim_{w \to 0} H = L }

であるから、ずらす幅  { \displaystyle w } をどれだけ小さく取っても、板を板の長さ以上に点 { \displaystyle O } より右側にはみ出させて崩さずに積むことはできない。

 

 

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