円周角をなす図形の面積

問題です。解答は下部に載せました。

問題：円 $C : x^2 + \left( y - 1 \right) ^ 2 = 1$ と直線 $l : y = kx + a$ の交点のうち、 $x$ 座標が正のものを点 $P$ とする。ただし、 $k \gt 0$ 、 $0 \lt a \leq 1$ とする。また、直線 $y = a$ と円 $C$ との２つの交点のうち、 $x$ 座標が正のものを $Q$ 、 $x$ 座標が負のものを $R$ とする。このとき、線分 $PQ$ 、線分 $PR$ および弧 $ROQ$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

解答：

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線分 $RQ$ と弧 $ROQ$ で囲まれた図形は $y$ 軸対称である。また、点 $M \left( 0 , a \right)$ をとると、三角形 $PMQ$ の面積と三角形 $PRM$ の面積は等しい。よって、線分 $PQ$ 、線分 $PR$ および弧 $ROQ$ で囲まれた図形の面積は、線分 $MQ$ 、線分 $MO$ および弧 $OQ$ のうち長さが短いもので囲まれた図形の面積と、三角形 $PMQ$ の面積の和を $2$ 倍したものに等しい。

まず、三角形 $PMQ$ の面積を求める。点 $Q$ の $x$ 座標は、方程式

$x^2 + \left( a - 1 \right) ^ 2 = 1$

の解のうち、値が正のものである。この方程式の解は、

$x = \pm \sqrt{a \left( 2 - a \right)}$

であるから、点 $Q$ の $x$ 座標は $\sqrt{a \left( 2 - a \right)}$ であり、これは線分 $MQ$ の長さに等しい。点 $P$ の $y$ 座標は、方程式

$\left( \frac{y-a}{k} \right) ^2 + \left( y-1 \right) ^2 = 1$

の解のうち、値が正のものである。この方程式の解は、

$y = \frac{k^2 + a \pm k \sqrt{k^2 + a \left( 2 - a \right)}}{k^2 + 1}$

であるから、点 $P$ の $y$ 座標は $\frac{k^2 + a + k \sqrt{ k^2 + a \left( 2 - a \right)}}{k^2 + 1}$ である。ゆえに、三角形 $PMQ$ の面積を $S_1$ とすれば、

$S_1 = \frac{1}{2} \times \sqrt{a \left( 2 - a \right)} \times \left( \frac{k^2 + a + k \sqrt{k^2 + a \left( 2 - a \right)}}{k^2 + 1} - a \right)$

$= \frac{ \sqrt{a \left( 2 - a \right) } \left\{ k^2 \left( 1 - a \right) + k \sqrt{k^2 + a \left( 2 - a \right)} \right\} }{2 \left( k^2 + 1 \right) }$

次に、線分 $MQ$ 、線分 $MO$ および弧 $OQ$ のうち長さが短いもので囲まれた図形の面積 $S_2$ を求める。

$S_2 = \int_0^{\sqrt{a \left( 2 - a \right)}} a - 1 + \sqrt{1 - x^2} \ dx$

$= \left( a - 1 \right) \sqrt{a \left( 2 - a \right)} + \int_0^{\sqrt{a \left( 2 - a \right)}} \sqrt{1 - x^2} \ dx$

$= \left( a - 1 \right) \sqrt{a \left( 2 - a \right)} + \frac{1}{2} \left( \sqrt{a \left( 2 - a \right)} \sqrt{\left( a - 1 \right) ^2 } + \sin ^{-1} \sqrt{a \left( 2 - a \right)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 3 \left( a - 1 \right) \sqrt{a \left( 2 - a \right)} + \sin ^{-1} \sqrt{a \left( 2 - a \right)} \right)$

従って、線分 $PQ$ 、線分 $PR$ および弧 $ROQ$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすれば、

$S = 2 \left( S_1 + S_2 \right)$

$= \sqrt{a \left( 2 - a \right) } \left\{ \frac{ \left( 2k^2 + 3 \right) \left( a - 1 \right) + k \sqrt{k^2 + a \left( 2 - a \right)} }{k^2 + 1} \right\} + \sin ^{-1} \sqrt{a \left( 2 - a \right)}$