１次元ランダムウォークにおける原点からの距離の期待値について

ファインマン物理学でも取り上げられている，「ランダムウォーク」における原点からの距離の期待値について計算してみます．

まず，「１次元ランダムウォーク」とは次のような操作のことを示します．

１．原点Oに点Pがある．

２．コインを１回投げる．表が出れば＋１，裏が出れば－１だけ点Pを動かす．

３．「２」の操作を延々と繰り返す．

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ここで，次のような問題を考えます．

「コインを $n$ 回投げたときに，２点P，O間の距離の期待値 $D_n$ はどう表されるか？」

結論から言うと，

$D_n=\frac{1}{2^n} \sum^n_{k=0} |n-2k|\ \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

になります．

この問題を次のような枝分かれのある「木」を用いて考えてみます．

まず，木の一番上の点を原点Oとします．はじめに，点Pは点Oにあるとします．次に，「コインを１回投げる」という操作を，「点Pが木を１段降りる」ことで表します．なお，ここでは原点Oを０段目とします．木の各格子点から下に伸びる分枝は，どの格子点でも２本であるため，この２本の分枝をコインの表裏に対応させることができます．ここでは，右側の分枝に降りることを＋１，左側の分枝に降りることを－１とします．そして，右側の分枝に降りる確率と左側の分枝に降りる確率をともに $\frac{1}{2}$ とします．

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木の各格子点に至る道筋の数は，パスカルの三角形を用いて表され，４段目まで書くと下図になります．

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ここで， $D_n$ を $n=0,1,2,3,4$ について計算してみます．

(1) $n=0$ のとき

点Pは必ず原点Oにいるため， $D_0=0$ となります．

(2) $n=1$ のとき

点Pは木の１段目にある２つの格子点のいずれかにいて，いずれの格子点も原点Oからの距離は１です．それぞれの格子点に至る道筋の数はパスカルの三角形よりいずれも１です．そして，それぞれの格子点に至る確率はいずれも $\frac{1}{2}$ ですから，

$D_1=\frac{1}{2}\left(1\times 1+1\times 1\right)=1$

(3) $n=2$ のとき

点Pは木の２段目にある３つの格子点のいずれかにいて，左端および右端の格子点と原点Oとの間の距離は２，真ん中の格子点と原点Oとの距離は０です．それぞれの格子点に至る道筋の数はパスカルの三角形より左端から１，２，１です．そして，それぞれの格子点に至る確率はいずれも $\frac{1}{2^2}$ ですから，

$D_2=\frac{1}{2^2}\left(2\times 1+0\times 2+2\times 1\right)=1$

(4) $n=3$ のとき

点Pは木の３段目にある４つの格子点のいずれかにいて，左端および右端の格子点と原点Oとの間の距離は３，中にある２つの格子点と原点Oとの間の距離は１です．それぞれの格子点に至る道筋の数はパスカルの三角形より左端から１，３，３，１です．そして，それぞれの格子点に至る確率はいずれも $\frac{1}{2^3}$ ですから，

$D_3=\frac{1}{2^3} \left(3\times 1+1\times 3+1\times3 +3\times 1 \right)=\frac{3}{2}$

(5) $n=4$ のとき

点Pは木の４段目にある５つの格子点のいずれかにいて，それぞれの格子点と原点Oとの間の距離は左から４，２，０，２，４です．それぞれの格子点に至る道筋の数はパスカルの三角形より左端から１，４，６，４，１です．そして，それぞれの格子点に至る確率はいずれも $\frac{1}{2^3}$ ですから，

$D_4=\frac{1}{2^4} \left(4\times 1+2\times 4+0\times 6+ 2\times 4+4\times 1\right) =\frac{3}{2}$

以上，少し長くなりましたが $n=1,2,3,4$ について $D_n$ を求めてみました．(1)から(5)の数式を眺めてみると，丸括弧の外側は $\frac{1}{2^n}$ ，丸括弧の内側は各格子点の原点からの距離 $|n-2k|$ にパスカルの三角形の値，すなわち二項係数 $_n \mathrm{C} _k$ をかけたものの和になっています．ただし，ここで $k$ は左端（あるいは右端）の格子点を０として，格子点に順に振った番号を表しています．以上の考察から， $D_n$ は次式で表すことができます．

$D_n= \frac{1}{2^n} \sum^n_{k=0} |n-2k|\ _n \mathrm{C} _k$

$= \frac{1}{2^n} \sum^n_{k=0} |n-2k|\ \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

ここで，ファインマン物理学Vol.１第６章で紹介されている根二乗平均距離"root-mean-square distance"， $D\rm _{rms}$ と $D_n$ を比較してみます．なお， $D\rm _{rms}$ は次式で表されます（ファインマン物理学Vol.１，(６.１０)式より引用）．