自作問題です.解答は下部に載せました.
問題:1辺の長さが1の正三角形に正方形を内接させる.ただし,正方形の4辺のうち1辺は外接している正三角形の1辺上にあるとすると,この辺の対辺と外接している正三角形の2辺からなる三角形は正三角形となる.この正三角形に対して正方形を上記の方法で内接させると,再び新たな正三角形が得られる.以上の方法を繰り返して得られる正三角形の1辺の長さについて,一番外側の1辺の長さが1の正三角形の1辺の長さを とし,以後正三角形の1辺の長さを長いものから順に とする.このとき, 番目に長い正三角形の1辺の長さ を の式で表せ.
解答:
上図より,
上式より, は初項1,公比 の等比数列だから,