連続するn個の整数の積はn!の倍数である

「連続する $n$ 個の整数の積は $n!$ の倍数である」

上の定理は有名で，ネット上にもいくつか証明が上がっていますが，この記事では非常に簡単な証明を紹介します．

$-8,-7,\bf -6\rm ,-5,-4,\bf -3\rm ,-2,-1,\bf 0 \rm ,1,2, \bf 3 \rm ,4,5,\bf 6 \rm ,7$

証明：整数を任意の位置から任意の方向（正負いずれか）に一つずつ数えていくと， $n$ の倍数が $n-1$ 個飛びに現れる．そのため，連続する $n$ 個の整数の中には，必ず $1$ から $n$ の倍数が少なくとも一つ含まれる．よって，連続する $n$ 個の整数の積は $1$ から $n$ の積の倍数である．一方， $n!$ は $1$ から $n$ の積である．ゆえに，連続する $n$ 個の整数の積は $n!$ の倍数である．