万有引力により固定質点へと近づく質点の運動（１次元）

ニュートンの運動方程式を用いて，万有引力により固定質点へと近づく質点の運動（１次元）を表す式を導出します．

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固定質点を $Q$ とし，万有引力により $Q$ に近づく質点を $P$ とします．右向きを正とした座標をとり， $Q$ の座標を $0$ ， $P$ の座標を $x \ ( x \geq 0)$ とします．

$P$ は万有引力により $Q$ に左向きに引っ張られるため，次の運動方程式が成り立ちます．

$m_1 \frac{d^2x}{{dt}^2} = - \frac{Gm_1m_2}{x^2} \ \ldots (1)$

ここで， $G$ は万有引力定数， $m_1$ は $P$ の質量， $m_2$ は $Q$ の質量， $t$ は時刻を表します． $(1)$ は両辺を $m_1$ で割ることで次式になります．

$\frac{d^2x}{{dt}^2} = - \frac{Gm_2}{x^2} \ \ldots (1)'$

$(1)'$ は２階非線形常微分方程式です．筆者が一般的な解法を知らないため，ここでは微分方程式を眺めて解を想像する方法を取ります．

まず，微分方程式の階数２と右辺の $x$ の指数２に注目します．これから， $x(t)$ は $t$ で２度微分すると，元の関数のー２乗を生成するような関数であるとわかります．ここで，例えば次のような関数を想像します．

$x(t)=(bt+c)^r \ \ldots (2)$

ここで， $b,\ c,\ r$ はいずれも定数です． $(2)$ を $t$ で２度微分して，元の関数のー２乗を生成するためには，まず $r$ について次式が成り立つ必要があります．

$r-2=-2r \leftrightarrow r= \frac{2}{3} \ \ldots(3)$

$(3)$ で求めた $r$ の値を $(2)$ に代入して $t$ で２度微分してみます．

$\frac{dx(t)}{dt} = \frac{2}{3}b(bt+c)^{- \frac{1}{3} } \ \ldots(4)$

$\frac{d^2x(t)}{{dt}^2} = - \frac{2}{9}b^2(bt+c)^{- \frac{4}{3} } = - \frac{2}{9}b^2 \frac{1}{{x(t)}^2} \ \ldots (5)$

ここで， $(1)'$ をもう一度眺めると， $x(t)$ が $(1)'$ を満たすためには次式が成り立つ必要があるとわかります．

$- \frac{2}{9}b^2=-Gm_2 \leftrightarrow b=-3 \sqrt{ \frac{Gm_2}{2} }\ \ldots(6)$

なお，上の式で $b$ の符号を－に限定したのは， $x(t)$ を $t$ の増加に伴い減少する関数とするためです．

残る定数 $c$ を定めるために初期条件を設定します．初期条件として， $t=0$ のとき $x=x_0$ を設定します．すると，次式が成り立ちます．

$x_0=c^{ \frac{2}{3} } \leftrightarrow c={x_0}^{ \frac{3}{2} } \ \ldots(7)$

以上で $r$ ， $b$ ， $c$ がすべて定まったので， $(1)'$ の解は次式で表されます．

$x(t)= \left( -3 \sqrt{ \frac{Gm_2}{2} } t + {x_0}^{ \frac{3}{2} } \right) ^{ \frac{2}{3} } \ \ldots(8)$

また， $(8)$ に $x(t)=0$ を代入すると， $P$ が $Q$ に到達する時刻 $T$ が求まります．

$T= \frac{{x_0}^{ \frac{3}{2} }}{3} \sqrt{ \frac{2}{Gm_2} } \ \ldots(9)$

$(9)$ から， $P$ が $Q$ に到達する時刻は $x_0$ の $\frac{3}{2}$ 乗に比例して遅れることがわかります．

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上図は $G=6.67 \times 10^{-11} \ \rm Nm^2kg^{-1}$ ， $m_2=6 \times 10^{24} \ \rm kg$ （地球の質量）， $x_0=1000 \ \rm km$ として $x(t)$ を計算した結果です．空気抵抗がなければ，高度１０００kmから落下しても３０秒とかからず地表に到達してしまうようです．