素数の割り算についての自作問題です．解答は下部に載せてあります．
問題
を素数，
および 
を自然数とする（ただし，
）．このとき，次の問いに答えよ．
１．
を 
以上 
以下の自然数とする．このとき，
であることを証明せよ．
２． および 
を 以上 以下の自然数とする（ただし，
）．このとき，
であることを証明せよ．
解答
１．まず，
を証明する．
より，
である．ゆえに，
は の倍数である．よって，次式が成り立つ．
従って，
は成り立つ．
次に，
を証明する．
と仮定すると，次式が成り立つ．
ただし， は 以上 以下の自然数である．
すると， より，次式が成り立つ．
一方，
および はいずれも の倍数ではない．よって，次式が成り立つ．
と 
は矛盾する．
よって，
である．
従って，
は成り立つ．
， より， は成り立つ．
２．まず，
を証明する．
と仮定すると，次式が成り立つ．
ただし，
および 
は相異なる自然数であり，
は 以上 以下の自然数である．
より，次式が成り立つ．
より， または 
が の倍数である．ここで，
であるから， は の倍数ではない．よって， が の倍数となるが，これは と矛盾する．
よって，
が成り立つ．
従って，
は成り立つ．
次に，
を証明する．
と仮定すると，次式が成り立つ．
これは，
であることと矛盾する．
よって， が成り立つ．
従って，
は成り立つ．
， より， は成り立つ．
おまけ
を素数， および を整数とする（ただし，
）．このとき，次の問いに答えよ．
１． を 
を満たす整数とする．このとき，
であることを証明せよ．
２． および をそれぞれ ，
を満たす整数とする（ただし，
）．このとき，
は偽であることを証明せよ．
