|sin mx| の０からπまでの積分

有名な気がする問題です．解答は下部に載せました．

問題

$m$ を正の整数とする．次式が成り立つことを示せ．

$\int _0 ^{ \pi } | \sin mx | \ dx = 2$

解答

$\int _0 ^{ \pi } | \sin mx | \ dx$

$= \sum _{k=0} ^{m-1} (-1)^k \int _{ \frac{ k \pi}{m}} ^{ \frac{ (k+1) \pi}{m} } \sin mx \ dx$

$= \sum _{k=0} ^{m-1} (-1)^k \left [ - \frac{1}{m} \cos mx \right ] _{ \frac{ k \pi}{m}} ^{ \frac{ (k+1) \pi}{m} }$

$= \frac{1}{m} \sum _{k=0} ^{m-1} (-1)^k \left( \cos k \pi - \cos (k+1) \pi \right)$

$= \frac{1}{m} \sum _{k=0} ^{m-1} 2$

$= 2$

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