頭の整理

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z + r^2/z が実数となる範囲

複素数

有名な問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

複素数 { \displaystyle z } について， { \displaystyle z + \frac{r^2}{z} } が実数となる範囲を複素数平面に図示せよ．ただし， { \displaystyle r } は任意の実数定数とする．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

{ \displaystyle z = x + iy } とおく．ただし， { \displaystyle i } は虚数単位とする．

{ \displaystyle z + \frac{r^2}{z} = x + iy + \frac{r^2}{x + iy} }

              { \displaystyle = x + iy + \frac{r^2 \left( x - iy \right) }{x^2 + y^2} }

              { \displaystyle = x + \frac{r^2 x}{x^2 + y^2} + i \left( y - \frac{r^2 y }{x^2 + y^2} \right) \ \ \ \ldots(1) }

{ \displaystyle (1) } 式が実数となることから，次式が成り立つ．

{ \displaystyle y - \frac{r^2 y }{x^2 + y^2} = 0 \ \ \ \ldots(2) }

{ \displaystyle (2) } 式より，次式が成り立つ．

{ \displaystyle x^2 + y^2 = r^2 \ \ \ \ldots(3) }

よって，求める範囲は下図の実線部分である．

f:id:todayf0rmu1a:20191101233045p:plain

 

 

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