頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

リングの影

空間図形

自作問題です．解答は下部に載せてあります．

問題

下図のように，半径 { \displaystyle r } の円を { \displaystyle xy } 平面に対して平行に，かつ円の中心が { \displaystyle z } 軸上にあるように配置する．{ \displaystyle y } 軸に平行であり，かつ円を通る直線 { \displaystyle l } の周りに円を  { \displaystyle \theta \ \ (0 \leq \theta \leq \frac{ \pi }{2} ) } だけ回転させる．このとき，円の真上から照射される光によって { \displaystyle xy } 平面上に映し出される影はどのような曲線を表すか．

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解答

円を { \displaystyle y } 軸方向から見ると，{ \displaystyle xy } 平面上に映し出される影は次の曲線であるとわかる．

{ \displaystyle x= \pm \sqrt{r^2 - y^2} \cos \theta }

 

おまけ

{ \displaystyle \theta= \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{\pi}{2} } のそれぞれについて，影の曲線を書いてみました．

影はだんだん細くなり，{ \displaystyle   \theta = \frac{\pi}{2} } で直線 { \displaystyle x=0 } になります．

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