頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

部分分数分解と数列の和

数列 極限 級数

有名な問題を少し拡張しました．解答は下部に載せました．

 

問題

数列

{ \displaystyle a_n = \frac{1}{n^2 + \left( 2p + 1 \right) n + p \left( p + 1 \right) } }

（ただし， { \displaystyle p } は任意の定数）の第１項から第ｎ項までの和 { \displaystyle S_n } を求めよ．

また， { \displaystyle \lim _{n \to \infty} S_n } を求めよ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

{ \displaystyle S_n = \sum ^n _{k=1} \frac{1}{k^2 + \left( 2p + 1 \right) k + p \left( p + 1 \right) } }

      { \displaystyle = \sum ^n _{k=1} \frac{1}{ \left( k + p \right) \left( k + p + 1 \right) } }

       { \displaystyle = \sum ^n _{k=1} \left( \frac{1}{k + p} - \frac{1}{ k + p + 1} \right) }

       { \displaystyle = \frac{1}{1 + p} - \frac{1}{ n + p + 1} }

{ \displaystyle \lim _{n \to \infty} S_n = \frac{1}{1 + p} }

 

 

数学の翼第８号

数学の翼第８号

 
「Amazon.co.jpアソシエイト」