頭の整理

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直線と放物線が囲む面積と円周率

二次関数 積分 級数

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

{ \displaystyle x \geq 0 } において直線 { \displaystyle y = x } と放物線  { \displaystyle y = n x^2 } が囲む面積を  { \displaystyle S_n } とする．ただし， { \displaystyle n } は正の整数とする．このとき，

{ \displaystyle \sum _{n = 1} ^{\infty} S_n }

を求めよ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

{ \displaystyle S_n = \int _0 ^{\frac{1}{n}} \left( x - n x^2 \right) dx }

      { \displaystyle = \left [ \frac{1}{2} x^2 - \frac{n}{3} x^3 \right ] _0 ^{\frac{1}{n}} }

      { \displaystyle = \frac{1}{2 n^2 } - \frac{1}{3 n^2} }

      { \displaystyle = \frac{1}{6 n^2 } }

{ \displaystyle \sum _{n = 1} ^{\infty} S_n = \frac{1}{6} \sum _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{ n^2 } }

      { \displaystyle = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi ^2}{6} }

      { \displaystyle = \frac{\pi ^2}{36} }

 

 

放物線電気ヒーター、調節可能な傾斜付きの振動放射ヒーター、安全シャットオフ、高速加熱、家庭用温度レベル、オフィスでの使用

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