ポアソン和公式の例題

ポアソン和公式を用いて解ける例題です．解答は下部に載せました．

問題

$\sum _{n = 0} ^{\infty} \frac{1}{1 + n^2}$ を求めよ．

解答

$f \left( x \right) = \frac{1}{1 + x^2}$ とおく．

$\hat{f} \left( \xi \right) = \int _{- \infty} ^{ \infty} \frac{e ^{-2 \pi i \xi x} }{1 + x^2} dx$

$= \pi e ^{-2 \pi | \xi | }$

よって，ポアソン和公式より，次式が成り立つ．

$\sum _{n = - \infty} ^{\infty} \frac{1}{1 + n^2} = \pi \sum _{m = - \infty} ^{\infty} e ^{-2 \pi | m | }$

$f \left( n \right)$ と $\hat{f} \left( m \right)$ はいずれも偶関数であるから，次式が成り立つ．

$\frac{1}{1 + 0^2 } + 2 \sum _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{1 + n^2} = \pi \left( e^0 + 2 \sum _{m = 1} ^{\infty} e ^{-2 \pi m } \right)$

$1 + 2 \sum _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{1 + n^2} = \pi \left( 1 + \frac{2 e^{-2 \pi}}{1 - e^{-2 \pi}} \right)$

$\sum _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{1 + n^2} = \frac{\pi -1}{2} + \frac{\pi e^{-2 \pi}}{1 - e^{-2 \pi}}$

$\therefore \sum _{n = 0} ^{\infty} \frac{1}{1 + n^2} = \frac{\pi + 1}{2} + \frac{\pi e^{-2 \pi}}{1 - e^{-2 \pi}}$

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