頭の整理

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kx^(kx^r) の極小値

微分

問題です。解答は下部に載せました。

 

問題： { \displaystyle f \left( x \right) = kx^{k{x}^r} } の極小値を求めよ。ただし、 { \displaystyle k } と { \displaystyle r } は０を除く任意の実数とする。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答：

{ \displaystyle \ln f \left( x \right) = \ln kx^{k{x}^r} }

{ \displaystyle \ln f \left( x \right) = k{x}^r \ln kx }

{ \displaystyle \frac{1}{f \left( x \right)} \frac{d f \left( x \right)}{dx} = kr{x}^{r-1} \ln kx + kx^{r-1} = k{x}^{r-1} \left( r \ln kx + 1 \right) }

{ \displaystyle \frac{d f \left( x \right)}{dx} = kx^{k{x}^r} \times k{x}^{r-1} \left( r \ln kx + 1 \right) }

よって、 { \displaystyle \frac{d f \left( x \right)}{dx} = 0 } を満たす  { \displaystyle x } は、

{ \displaystyle r \ln kx + 1 = 0 }

の解であり、これは

{ \displaystyle x = \frac{1}{k} e^{- \frac{1}{r}} }

で与えられる。よって、 { \displaystyle f \left( x \right) } は  { \displaystyle x = \frac{1}{k} e^{- \frac{1}{r}} } のときに、極小値

{ \displaystyle f \left( \frac{1}{k} e^{- \frac{1}{r}} \right) = k \cdot \left( \frac{1}{k} e^{- \frac{1}{r}} \right) ^ {\left( k \cdot {\left( \frac{1}{k} e^{- \frac{1}{r}} \right)}^r \right) } }

をとる。

 

余談：

{ \displaystyle k = 1 } のとき、 { \displaystyle f \left( x \right) } は、

{ \displaystyle x = e^{- \frac{1}{r}} }

のときに、極小値

{ \displaystyle f \left( e^{- \frac{1}{r}} \right) = \left( e^{- \frac{1}{r}} \right) ^ {\left( {\left( e^{- \frac{1}{r}} \right)}^r \right)} = \left( e^{- \frac{1}{r}} \right) ^ {e^{-1}} }

となるから、 { \displaystyle r } を動かしたときの極小値の軌跡は

{ \displaystyle f \left( x \right) = x ^ {e^{-1}} }

で与えられる。

 

 

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